Sistemas de numeración (IV). El sistema de numeración hexadecimal o base dieciséis

Llegamos a la cuarta entrega de esta serie de los sistemas de numeración mas usados y esta vez le toca al sistema de numeración hexadecimal o de base dieciséis.

El sistema de numeración hexadecimal, también conocido como de base dieciséis, por ser esa es la cantidad o números o cifras que usa, las cuales son las siguientes:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Este sistema tiene la particularidad de ademas de tener cifras que son usadas en el sistema numérico decimal, contar también con letras, las cuales tienen el valor mostrado a continuación :

• 0 = cero
• 1 = uno
• 2 = dos
• 3 = tres
• 4 = cuatro
• 5 = cinco
• 6 = seis
• 7 = siete
• 8 = ocho
• 9 = nueve
• A = diez
• B = once
• C = doce
• D = trece
• E = catorce
• F = quince

Para evitar confusiones con números del sistema de base diez, a las cifras pertenecientes al sistema numérico hexadecimal se les representa entre paréntesis con un subindice igual a 16:

• (0)₁₆
• (1)₁₆
• (2)₁₆
• (3)₁₆
• (4)₁₆
• (5)₁₆
• (6)₁₆
• (7)₁₆
• (8)₁₆
• (9)₁₆
• (A)₁₆
• (B)₁₆
• (C)₁₆
• (D)₁₆
• (E)₁₆
• (F)₁₆

Con estas dieciséis cifras se puede representar cualquier otra, en el caso que se sea un numero distinto a los mostrados anteriormente, al igual que en los sistemas decimal y binario, se tomará en cuenta su posición. Para explicar esto mejor, al igual que en el sistema binario (o base dos) y octal (o base ocho como quieran llamarlo mejor), usaremos potenciación para la cual debemos recordar que si elevamos el numero 16 a otro numero, o lo que es lo mismo, si 16 tiene como exponente otro numero, significa que el número 16 se multiplica X veces. Tomando en cuenta lo anterior se tiene lo siguiente:

• 16⁰ = 1 => todo numero elevado a la 0 o con exponente igual a 0 es igual a 1
• 16¹ = 16 => todo numero elevado a la 1 o con exponente igual a 1 es igual al mismo número
• 16² = 16 x 16 = 256
• 16³ = 16 x 16 x 16 = 4096
• 16⁴ = 16 x 16 x 16 x 16 = 65536
• 16⁵ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1048576
• 16⁶ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 16777216
• 16⁷ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 268435456
• 16⁸ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 4294967296
• 16⁹ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 68719476736
• 16¹⁰ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1099511627776
• 16¹¹ = 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1759218604416
• Y así sucesivamente...

De acuerdo a la posición en que esté ya sea el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, así como A, B, C, D, E y F (cuyos valores son 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente) a dicha cifra se le multiplicará por 16⁰ o lo que es lo mismo por 1, por 16¹ o lo que es lo mismo por 16, por 16² o lo que es lo mismo por 256, por 16³ o lo que es lo mismo por 4096, por 16⁴ o lo que es lo mismo por 65536 y así sucesivamente. Para explicar mejor lo anterior hagamos un ejemplo, si se tiene la siguiente cifra:

(10)₁₆

¿Cual es el valor de este número? Pues vamos a determinarlo, comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

0 => 0 x 16⁰ = 0 x 1 = 0

Segunda cifra:

1 => 1 x 16¹ = 1 x 16 = 16

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (10)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra = (0 x 1) + (1 x 16)

= 0 + 16

= 16

Se tienen entonces que (10)₁₆ en el sistema hexadecimal o de base dieciséis es igual a 16. o lo que es lo mismo (10)₁₆ es la representación en el sistema hexadecimal del numero 16.

Hagamos otro ejemplo para explicar lo anterior, si tenemos la siguiente cifra en el sistema de base ocho:

(72A)₈

Para conocer su valor procedemos de la misma forma que en el ejemplo anterior, comenzando de derecha a izquierda, en este caso vemos que esta presente la letra A que en este sistema vale 10.

Primera cifra:

A => 10 x 16⁰ = 10 x 1 = 10

Segunda cifra:

2 => 2 x 16¹ = 2 x 16 = 32

Tercera cifra:

7 => 7 x 16² = 7 x 256 = 1792

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (702)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra

= (10 x 1) + (2 x 16) + (7 x 256)

= 10 + 32 + 1792

= 1834

Se tienen entonces que (72A)₁₆ es igual a 1834. o lo que es lo mismo (72A)₁₆ es la representación en el sistema hexadecimal del numero 1834. También se puede hacer el mimo procedimiento comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, cada quien puede hacerlo como mejor le parezca:

Tercera cifra:

7 => 7 x 16² = 7 x 256 = 1792

Segunda cifra:

2 => 2 x 16¹ = 2 x 16 = 32

Primera cifra:

A => 10 x 16⁰ = 10 x 1 = 10

Se tiene que (72A)₁₆ es igual a:

Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (7 x 256) + (2 x 16) + (10 x 1)

= 1792 + 32 + 10

= 1834

Otro ejemplo, si tenemos la siguiente cifra:

(5BFD)₂

Recordemos que B vale 11, F vale 15 y D vale 13. Comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

D => 13 x 16⁰ = 13 x 1 = 13

Segunda cifra:

F => 15 x 16¹ = 15 x 16 = 240

Tercera cifra:

B => 11 x 16² = 11 x 256 = 2816

Cuarta cifra:

5 => 5 x 16³ = 5 x 4096 = 20480

De acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (5BFD)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra + Resultado cuarta cifra

= (13 x 1) + (15 x 16) + (11 x 2816) + (5 x 4096)

= 13 + 240 + 2816 + 20480

= 23549

Se tienen que (5BFD)₁₆ es igual a 23549. o lo que es lo igual (5BFD)₁₆ es la representación en el sistema hexadecimal del numero 23549. Si se hace de izquierda a derecha, el resultado es el mismo:

Cuarta cifra:

5 => 5 x 16³ = 5 x 4096 = 20480

Tercera cifra:

B => 11 x 16² = 11 x 256 = 2816

Segunda cifra:

F => 15 x 16¹ = 15 x 16 = 240

Primera cifra:

D => 13 x 16⁰ = 13 x 1 = 13

Se tiene que (5BFD)₁₆ es igual a:

Resultado cuarta cifra + Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (5 x 4096) + (11 x 256) + (15 x 16) + (13 x 1)

= 20480 + 2816 + 240 + 13

= 23549

Siempre hay que recordar que una cifra en el sistema de numeración hexadecimal solo se puede representar con ,los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y las letras A, B, C, D, E y F. Si tenemos algo como esto:

(G6)₁₆

Esa cifra está mal escrita, ya que G no se usa en el sistema de numeración hexadecimal. Ya para concluir se tiene que el sistema de numeración hexadecimal es una forma de representar números del sistema binario, pero eso es un tema que explicaré después. Eso es todo, cualquier cosa comenten.