Saludos. Esta vez vengo con la intención de responder aquella pregunta que dice así: ¿para que sirven las matemáticas? Pues bien, en este caso vamos a ver un uso practico de ellas, específicamente en las comunicaciones y mas exactamente del uso de las cónicas en especial las parábolas, pues entonces comencemos.
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Las
cónicas son usadas actualmente en tecnología, pero antes de ver
como se aplican haremos un repaso de algunos conceptos.
¿Qué son cónicas?
Las
cónicas o secciones cónicas son curvas planas obtenidas mediante la
intersección de un cono con un plano, de allí el nombre. De acuerdo
al ángulo en que el plano corte al cono se tendrá los distintos
tipos de cónicas, los cuales son:
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Circunferencia
-
Elipse
-
Parábola
-
Hipérbola
En
la siguiente imagen se muestran los distintos tipos de cónicas:
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Cónicas |
Vamos
a analizar las parábolas que son las usadas en las
telecomunicaciones.
¿Qué es una parábola?
Una
parábola es una cónica obtenida del corte de un plano en ángulo
oblicuo a un cono. Más exactamente una parábola es una curva en la
que los puntos están a la misma distancia de una recta fija y de un
punto fijo. La recta fija es llamada directriz y el punto fijo es
llamado foco.
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Parábola |
La
directriz es perpendicular a otra recta llamada eje en la cual está
ubicado el foco, indicado por F y la distancia, que se indica por P,
que hay del foco al vértice, indicado por O, es la misma que hay
del vértice a la directriz, indicada por D, asimismo, por el foco
pasa una recta perpendicular al eje que es llamada lado recto,
indicada por la letra L, y que corta a la parábola en dos puntos. En
la imagen se muestra como esta compuesta una parábola.
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Como esta compuesta una parábola |
Ahora
bien, supongamos que el vértice O está en el origen del eje de
coordenadas y que la directriz corta al eje en un punto –X,
mientras que el foco es un punto P en el eje X, por lo que sus
coordenadas serán (P,0), la fórmula de una parábola es:
Y2
= 4PX
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Ecuación de la parábola |
Si
la parábola tuviese su directriz perpendicular al eje Y, es decir,
abriría en forma vertical, y siguiendo el razonamiento anterior, su
fórmula sería:
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Ecuación de la parábola vertical |
Conocemos
lo que es una parábola y su forma ¿Pero qué aplicación práctica
le podemos encontrar a esta cónica? Pues bien, las parábolas las
vemos muy a menudo, y en caso que no sea así, hacemos uso de ella
hasta sin darnos cuenta, como es el caso de las antenas parabólicas,
que tal como su nombre lo indica, su forma proviene de una parábola.
Vemos cantidad de antenas parabólicas usadas principalmente para
recibir señales de televisión por satélite, pero sirven para otras
aplicaciones como telefonía, comunicaciones y en astronomía, los
llamados radiotelescopios son grandes antenas parabólicas.
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Antenas parabólicas |
Una
de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de
reflexión, la cual consiste en lo siguiente: un rayo que sale del
foco se refleja sobre la superficie de la parábola saliendo de forma
paralela a su eje y un rayo que llegue de forma paralelo al eje de la
parábola, se refleja en ella dirigiéndose al foco. Las antenas
parabólicas funcionan con este principio cuando un flujo de ondas
electromagnéticas choca contra su superficie, reflejándose en el
foco de la parábola.
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Propiedad de reflexión de las parábolas |
Para
diseñar una antena parabólica se usan los conceptos vistos
anteriormente. Si la parábola abre en forma vertical, su ecuación
es:
X2
= 4PY
Si
el vértice de la parábola está en el origen del eje de
coordenadas, es decir, está en el punto (0,0) y el foco está
ubicado en un punto P en el eje Y, por lo que sus coordenadas serán
(0, P). Ahora vamos a ver los elementos de una antena parabólica y
como se calculan, tal como se muestra en la siguiente figura:
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Elementos de una antena parabólica |
Si
ahora la parábola abre en forma horizontal, su ecuación es:
Y2
= 4PX
Si
se asume que el vértice de la parábola está en el origen del eje
de coordenadas, es decir, en el punto (0,0) y el foco está ubicado
en un punto P en el eje X, por lo que sus coordenadas serán (P, 0).
Los elementos de una antena parabólica y como se calculan para este
caso, es de forma similar si la parábola abriera en forma vertical,
tal como se muestra en la siguiente figura:
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Elementos de una antena parabólica si abre horizontalmente |
Hagamos
un ejemplo práctico: para una antena de 6 metros de diámetro y un
foco de 2 metros, calcular la profundidad y el ángulo de abertura.
Sea
P el foco, D el diámetro y H la profundidad, entonces si:
D:
6 metros
P:
2 metros
Para
determinar estos valores se hace lo siguiente:
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Ejemplo de antena parabólica |
Para
que la antena obtenga su forma a la parábola se le hace girar sobre
su eje:
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Giro de una parábola |
Para
hallar el volumen de la misma, se calcula por integrales por el
método de solido de revolución, el cual es igual a:
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Volumen de una antena parabólica |
Si
la parábola abre de forma horizontal, esto se calcula así:
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Volumen de una antena parabólica que abre horizontalmente |
Ahora
calcularemos el volumen que ocupará la antena del ejemplo anterior,
para lo cual usaremos integración definida:
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Ejemplo del calculo del volumen de una parábola |
Vamos a dejarlo hasta aquí. Este teme es mas extenso y quise mostrar solo un resumen del mismo, el cual espero les haya gustado. Pueden hacer cualquier comentario o sugerencia y no olviden suscribirse a este blog. ¡Hasta la próxima!
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