Hablemos de logaritmos

Saludos. En esta ocasión haré una descripción de algo tan utilizado en las matemáticas como sin los logaritmos, así que vamos a empezar de una vez.

Primero que nada logaritmo viene de la combinación de las palabras griegas logos, que significa proporción y arithmos, que significa número, es decir, logaritmo significa proporción numérica y su creación fue motivado para buscar una forma mas fácil de realizar operaciones aritméticas, siendo el matemático escoces John Napier el primero en definir los logaritmos.

¿Pero que es un logaritmo?

El logaritmo de un numero es el exponente que al elevar otra cifra da como resultado dicho numero. A la cifra que será elevada como exponente se le llama base. Por lo tanto, el logaritmo de un numero es aquel exponente que elevará a la base obtener dicho numero.

Sea B la base y N el exponente:

B^N = X

Donde X es el la potencia de B elevado a la N, es decir, X será el valor obtenido al multiplicar N veces a B.

Entonces el logaritmo de X con una base B será igual a N:

Log_BX=N

Ya que:

B^N = X

Definición de logaritmo

Ejemplo: Sea 2³ = 8, esto quiere decir que la base es 2 y el exponente es 3, entonces:

B=2

N=3

Log_BX=N →Log₂8=3

ya que 2³ = 8

Ejemplo de logaritmo

Si ahora se tiene que la base es 10 y el exponente es 2, es decir, que es igual a 10²= 100, entonces se tiene que:

B=10

N=2

Por lo tanto:

Log_BX=N →Log₁₀100=2

ya que 10²= 100

Otro ejemplo de logaritmo

La base B de un logaritmo puede ser cualquier número positivo mayor que 1, nunca puede ser negativa, ni igual a 0 ni a 1, mientras que X debe ser mayor que cero, es decir, que solo se puede calcular el logaritmo de números positivos, no de números negativos ni de cero. El porque de esto lo explicaré mas adelante.

Condiciones de los logaritmos

Los logaritmos mas comunes son los de base diez o logaritmos vulgares, que son aquellos cuya base es el numero 10 y los logaritmos naturales o neperianos que son aquellos cuya base es el numero e (numero irracional cuyo valor aproximado es 2,17828…), el nombre de neperianos es en honor a John Napier. En los logaritmos decimales o vulgares no se coloca la base junto a la palabra Log, mientras que los logaritmos naturales o neperianos se indican por las letras Ln.

Logaritmos decimales y neperianos

Independientemente de la base que tengan, los logaritmos tienen las siguientes propiedades que se muestran a continuación:

Propiedades de los logaritmos

Aquí se muestra la demostración de algunas de estas propiedades, las cuales se harán usando tanto logaritmos decimales como neperianos, ya que dichas propiedades son validas para todo tipo de logaritmos.

Demostración de las propiedades de los logaritmos

Como se dijo, los logaritmos mas usados son los vulgares o decimales, que son los que tienen la base igual a 10 y los naturales o neperianos, cuya base es el numero e (cuyo valor aproximado es 2,178...) ¿Pero que pasa si queremos hallar el logaritmo de un numero pero en una base distinta? Por ejemplo, queremos saber cual es el logaritmo de base 3 de 5:

Log₃5 = ¿?

En ese caso, calcularlo directamente es algo engorroso en vista que es difícil conseguir una tabla con los valores de los logaritmos diferentes a los decimales o vulgares o a de los naturales o neperianos, así como las calculadoras (o la gran mayoría) no poseen esa función. Por lo tanto hay que convertir dicho logaritmo en uno ya sea de tipo decimal o vulgar o de tipo natural o neperiano, para lo cual se usa la formula de cambio de base, la cual se muestra a continuación:

Formula del cambio de base de un logaritmo

Para hallar el el logaritmo de base 3 de 5, es decir, Log₃5 se emplea esta formula, tal como se muestra a continuación. La conversión se hará tanto a logaritmo decimal como a logaritmo neperiano, dando en ambos casos el mismo valor.

Ejemplo de cambio de base de un logaritmo

Anteriormente se dijo que la base de un logaritmo nunca puede ser negativa, ni igual a 0 ni a 1, así como solo se puede calcular el logaritmo de números mayores que cero. Veremos el porqué de esto.

¿Por qué no existen logaritmos de base de números negativos?

Habíamos dicho que el logaritmo de un numero es aquel exponente que al elevar otra cifra da como resultado dicho numero. Sabemos que podemos elevar cualquier numero sea positivo o negativo a un determinado exponente, obteniéndose una determinada cifra, tal como vemos a continuación:

4³ = 64

-2³ = -8

-3⁴ = 81

Si podemos elevar un numero a cualquier exponente ¿Entonces por qué no pueden haber logaritmos negativos? Esta es la explicación.

Un exponente puede ser tanto un numero entero como uno fraccionario. In exponente fraccionario representaría a una raíz, como por ejemplo:

3^1/2 = √3 = 1,732…

si ahora elevásemos el -3 a un exponente fraccionario tal como ½, se obtendría una raíz cuadrada de un numero negativo, la cual no existe, o mejor dicho, no está definida en los números reales (se entraría en el campo de los números imaginarios).

-3^1/2 = √-3 = No esta definida en los números reales

Lo anterior es valido para aquellos números negativos que sean elevados a un exponente fraccionario cuyo denominador sea un número par.

-5^1/4, -9^1/8, -7^3/2, -11^1/6 no están definidos en los números reales

Si el exponente fuese un entero, si este es par se tendría un número positivo y si es impar se tendría un numero negativo, y tendríamos una serie de números positivos y negativos de forma alterna.

-2² = 4

-2³ = -8

-2⁴ = 16

-2⁵ = -32

Esto trae como consecuencia que habrá números positivos que no tendrían logaritmo, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. Si tuviésemos un logaritmo de base -2. ¿Cual seria el valor del logaritmo de dicha base del numero 32?. Llamemos a ese valor que deseamos hallar como Y:

Log_-232 = Y

Esto quiere decir que si elevamos a -2 a un exponente igual a ese valor de Y debería dar como resultado 32:

-2^Y = 32

Pero como no existe ningún exponente que se le coloque a -2 que de como resultado 32, entonces el logaritmo para ese numero no existiría. Por lo tanto, se descartan los números negativos como base para los logaritmos.

Log_-BX= No existe

¿Por qué no existen logaritmos de base igual a cero?

La base de un logaritmo no puede ser igual a cero, ya que cero elevado a cualquier exponente siempre será cero. Ejemplo, supongamos que queremos hallar el logaritmo de base cero de 5, también supondremos que se tendrá un valor X:

Log₀5 = Y

Esto quiere decir que:

0^Y = 5

Pero cero elevado a cualquier numero siempre sera cero porque cero por cero es igual a cero:

0x0x0x0x...x0 = 0

Por lo tanto:

0⁵ = 0

Es por esto que el cero se descarta como base de logaritmos.

Log₀X = No existe

¿Por qué no existen logaritmos de base igual a 1?

La base de un logaritmo no puede ser igual a 1, ya que 1 elevado a cualquier exponente siempre será igual a 1. Por ejemplo, si queremos hallar el logaritmo de base 1 de 7, el cual tendría un valor igual a Y:

Log₁7 = Y

Esto quiere decir que:

1^Y = 7

Pero 1 elevado a cualquier numero siempre sera 1:

1x1x1x1x...x1 = 1

Por lo tanto:

1^Y = 1

Lo que indica que 1 se descarta como base de logaritmos.

Log₁X = No existe

¿Por qué no existe el logaritmo de cero?

El logaritmo de cero para cualquier base no existe por la siguiente razón. Recordemos el concepto de logaritmo: El logaritmo de un numero es aquel exponente que al elevar otra cifra da como resultado dicho numero, esto es:

Log_BX = N tal que B^N=X

El logaritmo de base B de X es igual a N, ya que B elevado a la N sera igual a X. Supongamos que X es igual a cero:

Log_B0 = N de modo que B^N sea igual a 0

Pero no existe ningún número que elevado a cualquier exponente sea igual a cero, por lo tanto se demuestra que el logaritmo de cero no existe.

Como ningún exponente hace que B^N sea igual a 0 entonces:

Log_B0 = No existe

¿Por qué no existe el logaritmo de números negativos?

En este caso la explicación es sencilla: como el logaritmo de un numero es aquel exponente que al elevar otra cifra da como resultado dicho numero, la base de un logaritmo debe ser positiva, asimismo, un numero positivo elevado a cualquier exponente jamas dará un numero negativo. En base a estas afirmaciones se demuestra que el logaritmo de un número negativo no existe:

Log_BX = N tal que B^N=X

B debe ser positivo. Si X es negativo se tendrá que:

Log_B(-X) = N de modo que B^N sea igual a -X

Como ningún exponente hace que B^N de como resultado un número negativo, entonces:

Log_B(-X) = No existe

Si bien no existen logaritmos de 0 y 1, si se puede calcular el logaritmo para cualquier número comprendido entre 0 y 1, tal como ½ que es igual a 0.5, ⅓ que es igual a 0.333.., ⅔ que es igual 0.666...,etc. El valor de los logaritmos para cualquier número comprendido entre 0 y 1 será negativo tanto para logaritmos decimales, neperianos o de cualquier base.

Log ½ = Log 0,5 = -0,301 ya que 10^-0,301 = 0.5 = 1/2

Ln ½ = Ln 0,5 = 0,609 ya que e^-0,609 = 0,5 = 1/2

La base de un logaritmo también puede ser fraccionaria, siempre y cuando sea positiva, ejemplo:

Log_1/28

En el caso de logaritmos con base fraccionarias, se tienen estas dos características:

Para números comprendidos entre 0 y 1, el resultado será positivo, ejemplo:

Log_1/31/9 = 2 ya que (1/3)² = 1/9

Para números mayores que 1, el resultado será negativo, ejemplo:

Log_1/525 = -2 ya que (1/5)^-2 = 25

Bueno es todo por hoy. Los invito a suscribirse asimismo cualquier comentario, duda o sugerencia pueden hacerlo. ¡Hasta la próxima!