El numero e ¿Como se origino?

Saludos. En esta publicación les hablaré sobre el numero e, mas específicamente como fue si origen, si que comencemos.

Para empezar vamos a recordar el concepto de logaritmo de un numero el cual es el exponente que al elevar otra cifra da como resultado dicho numero. A la cifra que será elevada como exponente se le llama base, por lo tanto el logaritmo de un numero es aquel exponente que elevará a la base obtener dicho numero.

Si llamamos B a la base y N al exponente se tiene que:

B^N = X

Donde X es el la potencia de B elevado a la N, es decir, X será el valor obtenido al multiplicar N veces a B. Entonces el logaritmo de X con una base B será igual a N:

Log_BX=N ya que B^N = X

Se usan dos tipos de logaritmos, los decimales o vulgares cuya base es 10, que se denota por las letras Log sin indicar la base:

LogX = N = Log₁₀X = N ya que 10^N = X

Y los logaritmos naturales o neperianos cuya base es el numero e, el cual se denota pos las letras Ln:

LnX = Log_eX = N ya que e^N = X

El número e, llamado constante de Euler tiene un valor aproximado de 2,718...¿Pero de donde sale?¿Cual es su origen? Esto lo veremos a continuación.

Origen del número e

Todo comenzó en el siglo 17 cuando el matemático suizo Jacob Bernoulli estaba haciendo estudios sobre el interés compuesto, el cual representa el costo del beneficio o utilidad de un capital inicial a una tasa de interés durante un período de tiempo, el cual se añade al capital inicial produciendo un capital final. El interés compuesto se calcula con la siguiente formula:

Formula del interés compuesto

Bernoulli hizo un razonamiento parecido al siguiente: Para 1 unidad monetaria cualquiera como capital inicial con una tasa de interés del 100% y un periodo de tiempo de un año para pagarlos se tendrá un capital final de:

C_F = C_o * (1 + i)ⁿ

Donde:

C_o = 1

i = 100% = 1

n = 1

C_F = 1*(1 + 1)¹ = 1*2¹

C_F = 2

Si ahora la tasa de interés es del 50%, es decir 0,5 o lo que es lo mismo ½ para un periodo igual 2, es decir, se pagarán dos veces al año se tendrá un capital final de:

C_o = 1

i = 50% = 0,5 = 1/2

n = 2

C_F = 1*(1 + 1/2)² = 1*(3/2)²

C_F = 9/4 = 2,25

Para una tasa de interés del 25%, es decir 0,25 o lo que es lo mismo ¼ para un periodo igual a 4, es decir, se pagarán cuatro veces al año se tendrá un capital:

C_o = 1

i = 25% = 0,25 = 1/4

n = 4

C_F = 1*(1 + 1/4)⁴ = 1*(5/4)²

C_F = 625/256 = 2,4414...

Para una tasa de interés igual a 1/ 12 para un periodo igual a 12, es decir, se pagarán doce veces al año, o sea mensualmente se tendrá un capital:

C_o = 1

i = 1/12

n = 12

C_F = 1*(1 + 1/12)¹² = 1*(13/12)¹²

C_F = 2,6130...

Si jugamos con la imaginación y el periodo es de 365, es decir, se pagará diariamente con un interes igual a 1/365:

C_o = 1

i = 1/365

n = 365

C_F = 1*(1 + 1/365)³⁶⁵ = 1*(366/365)³⁶⁵

C_F = 2,7145...

Si vamos mas allá y supongamos que se pagará cada hora, es decir, ir a cobrar cada hora y como un año tiene 365 * 24 = 8760 horas el periodo sera igual a 8760 y con un interés igual a 1/8760:

C_o = 1

i = 1/8760

n = 8760

C_F = 1*(1 + 1/8760)⁸⁷⁶⁰ = 1*(8761/8760)⁸⁷⁶⁰

C_F = 2,718126…

Si vamos mucho mas allá y supongamos que se pagará cada minuto y como un año tiene 8760 * 60 = 525600 minutos el periodo sera igual a 525600 y con un interés igual a 1/525600:

C_o = 1

i = 1/525600

n = 525600

C_F = 1*(1 + 1/525600)⁵²⁵⁶⁰⁰ = 1*(525601/525600)⁵²⁵⁶⁰⁰

C_F = 2,718127...

Vamos a ir mucho pero mucho mas allá y supongamos que se pagará cada segundo y si un año tiene 525600 * 60 = 31536000 segundos el periodo sera igual a 31536000 y con un interés igual a 1/31536000:

C_o = 1

i = 1/ 31536000

n = 31536000

C_F = 1*(1 + 1/31536000)^31536000= 1*(31536001/31536000) ^31536000

C_F = 2,718128...

Si tabulamos los resultados obtenidos:

Periodo	Interés	Capital final
1	1	2
1/2	2	2,25
1/4	4	2,4414...
1/12	12	2,6130...
1/365	365	2,7145...
1/8760	8760	2,718126…
1/525600	525600	2,718127...
1/31536000	31536000	2,718128...

Los periodos se expresan en forma fraccionaria y el denominador de cada periodo es igual al valor del interés, es decir, si el interés es 4 el periodo es ¼ y si el periodo es 365 el interés es de 1/365. a medida que aumenta el valor del interés y el denominador del periodo, el capital final va aumentando pero llega un momento que ese valor irá creciendo lentamente y los tres primeros decimales serán los mismos, el resto de los decimales van variando y aumentando. Si el interés es n y como el periodo se expresa en forma fraccionaria donde el numerador es igual a 1 y el denominador es igual al interés, que como se dijo se identifica por n, la formula del interés compuesto se simplifica quedando así:

Formula modificada del interés compuesto

Si el valor de n se sigue aumentando cada vez mas y mas con tendencia al infinito, el valor obtenido en la formula será igual a 2,78182818284590… Esto se puede expresar así:

Constante obtenida por Bernoulli con la formula del interés compuesto

Pero este número, el cual todavía no se le identificaba por la letra e, no se le usaba como base para logaritmos, es decir, aun no se habían definido los logaritmos naturales. Pasó mucho tiempo para que a este valor se le diera uso, siendo el primero en hacerlo el famoso matemático alemán Gottfried Leibniz hacia el año 1690 y quien lo identificó por la letra b en una carta que este le dirigió al físico y matemático holandés Christiaan Huygens y en la que hablaba sobre problemas de calculo diferencial e integral. Fue en el año 1727 cuando se le empezó a conocer por la letra e a este numero y quien empezó a usar esta letra fue Leonhard Euler, un famoso matemático y físico suizo, siendo este mismo quien le dió el primer uso de e en su libro Mechanica, publicado en 1736. Euler también hall+o otra forma de calcular el valor de e y la explicó en su libro Introductio in Analysin Infinitorum, el cual fue determinado usando factoriales, recordando que un factorial es la multiplicación de números consecutivos, ejemplo, el factorial de 5, que se representa de la forma 5! es igual a:

5! = 1*2*3*4*5 = 120

Euler calculó el valor de e de la siguiente manera:

Calculo de e por factoriales

Con este método Euler logró calcular 23 decimales al número e.

Otra forma de calcular el valor de e fue mostrada por el matemático suizo Felix A. Keller en el año 1975, la cual es de la siguiente manera:

Formula de Keller para calcular el valor de e

El valor de e también se calcula como fracción continua de esta manera:

Calculo de e por fracciones continuas

Actualmente al número e se le han calculado mas de 200 decimales, es decir, e seria igual a 2,718 seguido de otros 200 decimales.

Otra característica de e es que es un numero irracional, lo que significa que no se puede representar como la fracción de dos números.

El numero e está presente en muchos cálculos usados en física, ingeniería, economía y administración.

Así fue como nació e, un número importante en matemáticas y otras áreas. vamos a dejarlo hasta aquí. Suscribete a este blog para tener novedades y si tienes algún comentario, duda o sugerencia puedes hacerla ¡Hasta la próxima!