Sobre la división entre cero y la raíz cuadrada de un numero negativo

Saludos en esta ocasión les hablaré sobre la división de un número entre cero y la raíz cuadrada de un numero negativo, específicamente el porque dichas operaciones no están definidas o no existen. Para empezar tenemos la siguiente pregunta.

¿Por qué la división entre cero no está definida?

Para responder esto, vamos a demostrar de forma simple y sencilla que la división entre cero no esta definida o mejor dicho no existe. Primero recordemos cuales son las partes de una división:

• Dividendo: Es lo que se va a dividir
• Divisor: Es lo que divide al dividendo
• Cociente: Es el resultado de la división
• Residuo: Es un número que queda al final de la división y puede ser igual o distinto a cero. Si el residuo es igual a cero se dice que la división es exacta, de lo contrario se dice que la división es inexacta.

Partes de una división

Asimismo, una división puede representarse en forma de fracción. En este caso no aparece el residuo.

División en forma de fracción

Vamos a partir del principio que el dividendo puede ser cualquier numero real y supondremos también. que el divisor puede ser cualquier numero real. Por ejemplo vamos a dividir 16 entre 2, entonces se tiene que 16 es el dividendo, es decir el numero que se va dividir y 2 es el divisor, o sea la cifra con la que va a dividir el dividendo.

División de dos números

Para resolver esto buscaremos un número que multiplicado por 2 sea igual o cercano a 16, dicho número es 8, ya que 2 x 8 = 16.

Que numero multiplicado por 2 es igual a 16

Como 2 x 8 = 16 y siendo 16 el valor del dividendo, decimos que el resultado de la división, o sea el cociente es igual a 8 y que el residuo, que es el resultado de restar el producto de 2 x 8 y el valor del dividendo es cero:

(2 x 8) – 16 = 0

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta.

Resultado de la división

Como habíamos dicho que el dividendo puede ser cualquier número real, vamos a suponer que este vale cero como en el siguiente ejemplo donde dividiremos 0 entre 3.

Dividir cero entre otro número

Para resolver esto buscaremos un número que multiplicado por 3 sea igual a 0, dicho número es 0, ya que todo numero multiplicado por 0 es igual a 0.

Como se resuelve la división de cero entre otro número

El resultado de la dividir 0 entre 3 es 0.

Resultado de dividir cero entre otro número

Siguiendo el análisis anterior siempre que se divida 0 entre cualquier numero, el resultado será 0.

Cero dividido entre otro número siempre da como resultado cero

Ahora bien ¿que pasaría si el divisor es igual a 0? Es decir, ¿Cual sería el resultado de dividir un número entre 0? Para esto haremos el siguiente ejemplo: Vamos a dividir 10 entre 0.

Ejemplo de división de un número entre cero

Al tratar de hacer esta división surge esta interrogante ¿Que numero multiplicado por 0 da como resultado 10?

Tratando de resolver la división de un número entre cero

La respuesta es simple: ninguno, ya que todo numero multiplicado por 0 es igual a 0, por lo esta división no tendrá solución.

Al tratar de resolver la división de un número entre cero se observa que es imposible hacerlo

Por lo tanto, tomando en cuenta el análisis anterior, se concluye que no existe la división de un numero entre 0.

No se puede dividir entre cero

Y así queda demostrado porque la división entre cero no está definida.

La división entre cero no está definida

Ahora se nos presenta esta duda:

¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?

Bueno para ser mas exacto, la pregunta debería ser si la raíz de indice par de un número negativo existe, cuando decimos raíz de indice par nos referimos a raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc. Para responder esto, primero repasemos lo que es radicación, para lo cual recordaremos lo que es potenciación, que no es mas que la multiplicación de un numero una determinada cantidad de veces por si mismo.

Potenciación

Si llamamos al numero que se multiplica por si mismo base y al numero de veces que se multiplicará lo llamamos exponente, la potenciación se representará así:

Representación de la potenciación

Por ejemplo cuando decimos “4 al cuadrado” o lo que es lo mismo “4 a la 2”, estamos diciendo que el numero 4 tendrá como exponente al numero 2, o lo que es lo mismo que 4 esta elevado a un exponente igual a 2, lo que indica que 4 se multiplicará por si mismo 2 veces y el resultado de multiplicar por si mismo la base tantas veces según lo indique el exponente se llama potencia, que en este caso será igual:

4² = 4 x 4 = 16

Ejemplo de potenciación

Si al elevar un numero a un exponente se obtiene otro numero, por ejemplo sea un numero Y que elevado a un numero n, que quiere decir que Y se multiplicará por si mismo n veces, lo que dará como resultado un numero X ¿Se podrá hacer la operación inversa?, Es decir ¿Que número Y elevado a un exponente n dará como resultado el número X? Pues esa operación se puede hacer y es conocida como radicación y es el proceso de hallar ese numero Y que elevado a la n da como resultado X.

Radicación

Este es el signo de radicación:

Signo de radicación o signo de radical

Mediante la radicación se halla la raíz de un numero la cual se representa así:

Raíz de un número

La raíz de un numero X (cantidad subradical, que es el número al cual queremos hallarle su raíz)no es mas que hallar el numero Y que elevado a un exponente n (indice de la raíz) da como resultado el número X. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, ya que 4² = 16, Igualmente, la raíz cúbica de 27 es 3 ya que 3³ = 27.

Cálculo de la raíz de un número

Tomando en cuenta lo anterior ¿Qué pasa si queremos hallar la raíz cuadrada de un número negativo?. Antes de hacer esto repasemos la ley de los signos:

+ x +	=	+
+ x -	=	-
- x +	=	-
- x -	=	+

Según lo mostrado anteriormente, si multiplicamos dos números con signos iguales el resultado será positivo y si multiplicamos dos números con signos iguales el resultado será negativo.

De acuerdo a lo dicho en el párrafo anterior y sabiendo que la raíz de un numero X es hallar el numero Y que elevado a un exponente n para obtener el número X, si el exponente es igual a 2, entonces la raíz cuadrada de ese numero X será Y, donde si elevamos al cuadrado (o a la 2, es lo mismo) obtendremos a X, que es el caso de 16, donde su raíz cuadrada es igual a 4 y al elevar al cuadrado 4 da como resultado 16. Ahora, si ese número fuera negativo como por ejemplo -16, y que suponiendo que el resultado obtenido en el calculo de esa raíz cuadrada fuese un número Y, al elevarlo al cuadrado debería ser igual a -16, algo que no es posible, ya que de acuerdo con las regla de los signos si Y fuese negativo al elevarlo al cuadrado, osea, multiplicarlo dos veces se tendrá un número positivo, nunca negativo, lo mismo pasa si Y es positivo:

(-Y)² = (-Y) x (-Y) = Valor positivo

Y² = Y x Y = Valor positivo

Por lo tanto se concluye que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Esto es valido para las raíces de indice par, ya que si se hace el mismo razonamiento se demostrará que las raices de indice par de números negativos no existen.

Demostración del porque no existen las raíces cuadradas y de indice par de números negativos

En el caso de raíces con indice impar (raíz cúbica, quinta, séptima, etc) estas si existen para números negativos. Por ejemplo, la raíz cúbica de -27 existe y es igual a -3, ya que:

(-3) x (-3) x (-3) = -27

Demostración del porque existen las raíces de indice impar de números negativos

Para terminar, la conclusión exacta es que las raíces cuadradas así como de indice par de números negativos no existen específicamente para los números reales, los cuales son todos los números conocidos. Cuando se trabajan con raíces cuadradas de números negativos se entra en el campo de los números imaginarios, pero ya esto es material de otra publicación. Como esto se hizo largo vamos a dejarlo hasta aquí. Cualquier duda, sugerencia o comentario, pueden hacerlo tranquilamente. ¡Hasta la próxima!