Aplicaciones de la geometría y trigonometría: Mediciones

Saludos. Empezare esta nota con la siguiente pregunta: ¿Como haríamos para medir una distancia o una altura? Muchos responderán que con una regla o una cinta métrica, pero que tal si eso que queremos medir es muy grande y una regla o una cinta métrica no nos servirá de mucho o de nada, como por ejemplo la altura de un edificio o el ancho de un río. Pues bien, para caso como estos nos valdremos de las matemáticas, específicamente de sus ramas geometría y trigonometría ¿Que como es eso? Lo veremos a continuación.

Vamos primero a hacer un breve repaso de algunos conceptos.

¿Que es la trigonometría?

Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La trigonometría se dedica a realizar cálculos vinculados a los elementos de un triángulo,para lo cual hace uso de las razones trigonométricas.  

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son las razones obtenidas, es decir el resultado de una división, entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Para un triangulo rectángulo con un ángulo α cuyos lados son A, B y C y en donde:

A es el cateto opuesto, es decir, el lado opuesto al ángulo α

B es el cateto adyacente, es decir, el lado adyacente al ángulo α

C es la hipotenusa

Triángulo rectángulo

Entonces, las razones trigonométricas de un angulo α son:

Seno (Se denota como Senα y se lee seno de alfa)

Coseno (Se denota como Cosα y se lee coseno de alfa)

Tangente (Se denota como Tgα y se lee como tangente de alfa)

Estas razones trigonométricas se determinan mediante la división de los diferentes lados de un triangulo rectángulo. Si los lados de este triangulo rectangulo son A, B y C, siendo A el cateto opuesto, B el cateto adyacente y c la hipotenusa se tiene que:

Para el seno

Senα = cateto opuesto/hipotenusa = A/C

Para el coseno

Cosα = cateto adyacente/hipotenusa = B/C

Para la tangente

Tgα = cateto opuesto/cateto adyacente = A/B

Razones trigonométricas

También existen otras razones trigonométricas que son las inversas de las anteriores y son las siguientes:

Cosecante (Se denota como Cscα y se lee cosecante de alfa)

Cscα = 1/Senα = hipotenusa/cateto opuesto = C/A

Secante (Se denota como Secα y se lee secante de alfa)

Secα = 1/Cosα = hipotenusa/cateto adyacente = C/B

Cotangente (Se denota como Ctgα y se lee como cotangente de alfa)

Ctgα = 1/Tgα = cateto adyacente/cateto opuesto = B/A

Las razones trigonométricas tendrán un determinado valor de acuerdo al angulo. A continuación se muestran los valores que tendrán las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) para los ángulos 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º y su equivalente en radianes:

Razones trigonométricas para distintos ángulos

Si se conoce la longitud de dos de los lados de un triangulo rectángulo se podrá determinar cuanto vale  una determinada razón trigonométrica y si se sabe la longitud de al menos uno de los lados que forman un triangulo rectángulo y el valor del angulo se puede conocer cual sera la longitud de otro de sus lados mediante las razones trigonométricas. Haremos unos ejemplos de situaciones que se presentan en la practica donde aplicaremos lo dicho en lineas anteriores.

Calcular la altura de una torre si una persona está a 7 metros de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la punta es de 60º y sostiene el artilugio con el que mide el angulo de elevación a una altura de 1,5 metros.

Cuando nos referimos al ángulo de elevación, decimos que es el ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto, por lo tanto, en el ejemplo, la el angulo que se forma desde los ojos de la persona hacia la punta de la torre es el angulo de elevación, que es igual a 60º, que se obtuvo por medio del artilugio que sostiene en sus manos. De acuerdo a los datos que nos dan se deduce que la persona, la distancia que desde esta a la torre y la altura de la misma forman un triangulo rectángulo tal como se muestra en la figura:

Ejercicio practico. Calculo de la altura de una torre

Con los datos dados y usando las razones trigonométricas, podremos calcular la altura de la torre de la manera como se muestra en la figura:

Calculo de la altura de una torre

Una cometa, papagayo o papalote (varia el termino según el país) está unida al suelo por un hilo de 100 metros, formando con el suelo un angulo de 60º. Si se asume que este hilo está tirante, determinar que altura estará la cometa (o papagayo o papalote). De acuerdo a los datos que nos dan se deduce que el hilo de la cometa y la altura a la que se muestra la misma forman un triangulo rectángulo tal como se muestra en la figura:

Ejercicio practico. Calculo de la altura de una torre

Con los datos dados y usando las razones trigonométricas, podremos calcular la altura de la cometa de la forma como se muestra en la figura:

El detalle del uso de la trigonometría para casos como estos es en la dificultad que se puede presentar a veces con la determinación del angulo. Esto puede hacerse con ciertos artilugios y si no se cuenta con estos se determinar con la vista, pero esto requiere mucha practica. Otra dificultad que se presenta es a la hora de hacer los cálculos, ya que si bien se conocen los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º y su equivalente en radianes ya que estos están tabulados, no siempre se tendrán ángulos con estos valores, por lo que se deben hallarlos. Esto se hace fácil con una calculadora pero si no se tiene una a la mano se complica el asunto. Existe otra forma de realizar estos cálculos en casos prácticos como los ya descritos y es por medio de la semejanza de triángulos o triángulos semejantes, el cual se explica a continuación.

Triángulos semejantes

Esto fue planteado por el filosofo y matemático griego Tales de Mileto, quien es conocido por determinar la altura de las pirámides de Egipto usando solo un bastón al comparar la sombra de este con la de las pirámides.

Al comparar la sombra de las pirámides de Egipto con la de un bastón Tales de Mileto dio origen al uso de la semejanzas de triángulos

Tales de Mileto observó que una sombra está en igual proporción que la otra, es decir, la sombra de la pirámide es proporcional a la del bastón.

Ambas sombras forman triángulos que son proporcionales

En base a esto, el calculo de la altura de las pirámides lo hizo de la siguiente manera:

Calculo de la altura de la pirámide por semejanza de triángulos

Este método es lo que se conoce como semejanza de triángulos o triángulos semejantes y se usa todavía. Para poder aplicarlo se deben cumplir alguna de estas condiciones:

• Ángulos iguales
• Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales
• Lados proporcionales

Criterio para la semejanzas de triángulos

Teorema de Tales

Tales de Mileto postuló el siguiente teorema:

"Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos resultantes en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra."

Teorema de Tales

Si este teorema se aplica a los triángulos dice lo siguiente:

"Para un triángulo cualquiera, si se traza un segmento paralelo a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo original."

Teorema de Tales aplicado a los triángulos

Los triángulos semejantes y el teorema de Tales nos sirven de mucha utilidad en la practica y para demostrarlo haremos unos ejemplos de situaciones que se presentan en la practica donde aplicaremos lo dicho anteriormente.

Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6,5 metros a la misma hora que un poste de 4,5 metros de altura da una sombra de 0,90 metros.

Ejercicio practico. Calculo de la altura de un edificio

Calcular la distancia entre dos arboles ubicados en la orilla opuesta de un río, por el cual pasa un puente que mide 30 metros de largo. Según la figura el puente cruza el río de forma diagonal y pasa justo al lado de dos arboles cada uno de ellos ubicados en ambas orillas, siendo uno de ellos al que queremos medir la distancia que lo separa de otro mas. Si en la orilla donde estamos tomamos como referencia el árbol que esta al lado del puente, al cual llamaremos A y ubicamos un punto ubicado en linea recta que esta a 10 metros de distancia al cual llamaremos D y tomamos otro punto que llamaremos E y que esta a 12 metros de distancia siguiendo el camino que se comunica con el puente el cual viene en dirección diagonal. Si a los arboles a los que queremos hallar la distancia que los separa los llamaremos B y C, obtendremos dos triángulos, uno dentro del otro tal como se muestra en la figura.

Ejercicio practico. Calculo de distancia entre dos puntos

Aplicaremos el teorema de Tales para hallar la incógnita que queremos saber, tal como se muestra en la figura:

Uso del Teorema de Tales para hallar la distancia entre dos puntos

Un uso practico de los triángulos semejantes es el calculo de la distancia de un río. Tomamos como referencia un punto, al cual llamaremos X, tal como un árbol, una roca o una casa en la orilla opuesta a la que nos encontramos y al lugar en donde estamos parados lo llamaremos A. Caminamos en linea recta unos 60 metros y colocamos un palo o una estaca e identificamos este sitio como B. Seguimos caminando en linea recta otros 30 metros. En ese sitio, al cual llamaremos C, doblamos en angulo recto y caminamos orilla adentro, contando ka distancia hasta llegar a un sitio en donde la estaca o la piedra ubicada en B quede en linea recta con el árbol, roca o casa ubicada en X, tal como se muestra en la figura, en la cual se observan dos triángulos, los cuales son semejantes. Por lo tanto, la distancia entre las orillas de un río se calculan por triángulos semejantes, tal como se ve en la figura:.

Calculo del ancho de un río por triángulos semejantes

Por lo tanto, la distancia entre las orillas de un río, es decir, su ancho es igual al doble de la distancia  que hay es de la orilla hasta el punto en donde la estaca o la piedra ubicada en B quede en linea recta con el árbol, roca o casa ubicada en X.

Bueno esto es todo por hoy. Espero les haya gustado esta nota practica y recuerden que lo dicho aquí les puede servir en diferentes casos. Suscribanse y recuerden comentar. ¡Hasta la próxima!