El numero pi. Hablemos de su origen

Saludos. Esta vez les hablaré sobre el numero pi. El número pi (Π) es uno de los mas importantes en matemáticas y que es usado ampliamente en física e ingeniería ¿Pero como fue que se dedujo? ¿Como fue su descubrimiento? Para saber esto haremos primero un repaso de algunos conceptos de geometría.

Repasemos el concepto de circulo y circunferencia, al contrario de lo que piensan muchos, no son lo mismo.

¿Que es un circulo?

Un circulo es la superficie definida por una circunferencia.

¿Y que es una circunferencia?

Una circunferencia es una curva cerrada y plana en la que todos sus puntos están a una misma distancia de un punto fijo y central llamado centro de la circunferencia.

Circulo y circunferencia

A la distancia que hay desde cualquier punto de la circunferencia al centro de la circunferencia (o simplemente centro) se le llama radio.

Radio de una circunferencia

A la recta comprendida entre dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro de la misma se le conoce como el diámetro de la circunferencia. También se le puede definir como la distancia de un segmento comprendido entre dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro. El diámetro de una circunferencia, que se indica por la letra D o d, es igual a dos veces el radio, es decir, el radio multiplicado por 2:

D = 2xR

Diámetro de una circunferencia

Ahora bien, hay una relación muy importante entre los conceptos explicados anteriormente, y es la existente entre la circunferencia y el diámetro. Independientemente de la longitud de la circunferencia, sea esta grande o pequeña, al ser dividida por el diámetro, siempre dará un valor constante, el cual es un poco mayor que 3. 

La relación entre la longitud de una circunferencia y el diámetro da un valor aproximado a 3

Esto fue observado desde tiempos antiguos, siendo los babilonios por el año 2000 A. C, los primeros en darse cuenta de esto cuando calcularon que la longitud de una circunferencia era tres veces el valor de su diámetro, conclusión a la que también llegaron los egipcios, con la diferencia que el valor obtenido era de 3.16. En la Biblia también hacen referencia a esta relación entre circunferencia y diámetro, la cual se relata en 1 Reyes 7:23, que dice lo siguiente:

“Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.”

El mar de fundición era un tanque que mandó a hacer el rey Salomón para el Templo de Jerusalén y el cual tenia un diámetro de 10 codos (diez codos del un lado al otro) y una circunferencia de 30 codos (y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos), siendo un codo aproximadamente igual a 0,50 metros). Al dividir ambos valores se tiene lo siguiente:

Circunferencia (C) =30 codos

Diametro (D) = 10 codos

C/D = 30 codos / 10 codos = 3

Siendo este valor el mismo al cual habían llegado en Babilonia mucho tiempo antes.

La relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro del mar de fundición del rey Salomón da un valor igual a 3

Pero en realidad, el valor de la relación entre circunferencia y el diámetro, al que por los momentos llamaremos simplemente como número, era mayor que 3 y menor que 3,16 el cual, como se dijo, fue el valor determinado por los matemáticos del Antiguo Egipto. Fue el gran físico e inventor griego Arquímedes de Siracusa quien en el año 225 A. C se dedicó a estudiar de lleno este numero usando un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

Método usado por Arquímedes para calcular la relación entre circunferencia y diámetro

Luego dividió el perímetro de los polígonos tanto inscritos como circunscritos por el diámetro de la siguiente manera:

P/D

Donde:

D es el diámetro de la circunferencia

P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia.

Para estos cálculos, Arquímedes utilizó un polígono de 6 lados, dicho polígono es conocido como hexágono. Específicamente utilizó 2 hexágonos: uno inscrito y otro circunscrito en la circunferencia, Si cada hexágono tiene un determinado perímetro y la circunferencia un cierto radio, se realizan dos cálculos: uno para cada perímetro de los hexágonos, tal como se muestra:

Método de Arquímedes

Posteriormente utilizó polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados, obteniendo luego de usar este ultimo que el número estará comprendido entre 3,140845 … y 3,142857…

3,140845 … < numero < 3,142857…

Mucho tiempo después, en el siglo II el astrónomo y matemático greco-egipcio Claudio Tolomeo siguiendo el método de Arquímedes, utilizó un polígono de 120 lados obteniendo un valor aproximado a 3,14166. Algo similar usó para finales del siglo V el astrónomo y matemático chino Zu Chongzhi para obtener un valor de 3,1415927. Para el siglo XVI, el matemático holandés Ludolph Van Ceulen siguiendo el mismo método pero usando polígonos de 262 lados obtuvo un valor igual a 3.14159265358979323846264338327950288.

¿Cuando empezó a llamarle pi a este número?

Como ya se sabe, este número es la relación entre el la longitud o perímetro de una circunferencia y su diámetro, en el año 1706, el matemático galés William Jones propuso usar la letra griega pi (Π) para identificarlo, ya que dicha letra es la primera de las palabras griegas περιφέρεια y περίμετρον, que quieren decir periferia y perímetro respectivamente, si bien el matemático y clérigo ingles William Oughtred ya había usado dicha letra para referirse al calculo entre la circunferencia y el diámetro, pero quien lo dio a conocer al mundo y haciéndolo popular fue Leonhard Euler, el famoso matemático y físico suizo a través de su obra “Introducción al calculo infinitesimal”, publicada en el año 1748. De ahora en adelante,a este numero lo llamaremos pi (o Π).

¿Hay otra forma de calcular a pi (Π) aparte de usar polígonos?

Durante mucho tiempo para calcular pi se usaba el método de Arquímedes, que como se dijo, era usando polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia. Pero el matemático alemán Gottfried Leibniz publico en 1682 un método para calcular este numero y es la que se conoce como la serie de Gregory-Leibniz, si bien esto fue planteado en el siglo XV por el matemático hindú Madhava de Sangamagrama, por lo que también es llamada serie de Madhava-Leibniz, la cual es de la siguiente forma:

Serie de Gregory-Leibniz

Pero antes de Leibniz, en el siglo XVI, el matemático frances Francosi Viete descubrió otra formula para calcular pi. Otras formulas para calcular pi fueron la planteada por el matemático ingles John Wallis en el siglo XVII, la planteada por el astrónomo ingles John Machin y la que se considera mas precisa que las anteriores que es la que planteó en el siglo XX el matemático hindú Srinivasa Ramanujan.

Formulas para calcular pi

Otra forma de calcular a pi es por fracciones continuas:

Fracciones continuas para calcular pi

El método considerado mas eficiente para calcular un valor mas exacto de pi es el algoritmo de Chudnovsky, el cual fue planteado por David Volfovich Chudnovsky y Gregory Volfovich Chudnovsky, dos matemáticos ucranianos nacionalizados estadounidenses (y que ademas son hermanos) y que es el siguiente:

El algoritmo de Chudnovsky, el método usado actualmente para calcular el valor de pi

Con este algoritmo se pueden calcular valores mas exactos de pi con gran cantidad de decimales, como el hallado en octubre del 2011 por los informáticos Alexander Yee y Shigeru Kondo, cuando se llegaron a calcular 10 billones (10.000.000.000.000) de dígitos, para lo cual se usó una computadora de 96 GB de RAM y 30 discos duros, siendo 29 de ellos de 2 TB y uno de 1 TB.

Este numero pi irracional ya que no puede expresarse como el resultado de una fracción.

El numero pi tiene gran utilidad. Primero sirve para calcular el área de un círculo, su perímetro o el volumen de un cilindro, por lo que se aplica a la fabricación de objetos redondos y cilíndricos como neumáticos, galletas, relojes, vasos, botellas y otros. También se utiliza en multitud de fórmulas y cálculos matemáticos para trigonometría, topografía, estadística, astronomía y varias ramas de la ingeniería y física como la electrónica y comunicaciones, ya que esta presente en los GPS y en telefonía.

Vamos a dejarlo hasta aqui. Suscribanse a este blog y si desean hacer un comentario no duden en escribirlo. ¡Hasta la próxima!