Sistemas de numeración (II). El sistema de numeración binario o base dos

Siguiendo con esta serie dedicada a los sistemas de numeración usados, esta vez hablaré sobre el sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario, también llamado de base dos, solo usa usa estos dos números o cifras:

0 1

Solo usa el cero y el uno para representar una cantidad determinada, de allí el otro nombre de base dos, y en donde, al igual que en el sistema de numeración de base diez, 0 vale cero y 1 vale uno.

• 0 = cero
• 1 = uno

Pero si solo se tienen dos cifras, 0 y 1 ¿como hago entonces para representar un numero distinto a 0 y a 1? Bien vamos por partes, cualquier cifra se puede representar en el sistema binario, con la diferencia que se hará usando sólo 0 y 1 ¿bien? Y al igual que en el sistema numérico decimal, el valor de cada cifra dependerá de su posición. Antes de explicar esto mejor hagamos un repaso de potenciación ("te volviste loco" dirán ustedes, pero verán el porque de esto). La potenciacion o la potencia de un numero se dice que un numero está elevado a X cifra o que tiene exponente igual a X, esto significa que ese número se multiplica X veces por el mismo, mas específicamente es la representación de un numero multiplicado varias veces por el mismo. Tomando en cuenta lo anterior se tiene lo siguiente:

2⁰ = 1 => todo numero elevado a la 0 o con exponente igual a 0 es igual a 1
2¹ = 2 => todo numero elevado a la 1 o con exponente igual a 1 es igual al mismo número
2² = 2 x 2 = 4
2³ = 2 x 2 x 2 = 8
2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
2¹¹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2048
Y así sucesivamente...

Se preguntarán para que sirve esto, pues de acuerdo a la posición en que esté el 0 o el 1 que conforme determinada cifra se le multiplicará por 2⁰ o lo que es lo mismo por 1, por 2¹ o lo que es lo mismo por 2, por 2² o lo que es lo mismo por 4, por 2³ o lo que es lo mismo por 8, por 2⁴ o lo que es lo mismo por 16 y así sucesivamente. Para explicar mejor lo anterior hagamos un ejemplo, si se tiene la siguiente cifra:

101

En el sistema de base diez 101 significa ciento uno, pero en el sistema de base dos, tienen otro valor, ¿cual es ese valor? Pues vamos a determinarlo, comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

1 => 1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

Segunda cifra:

0 => 0 x 2¹ = 0 x 2 = 0

Tercera cifra:

1 => 1 x 2² = 1 x 4 = 4

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que 101 en binario es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra 

= (1 x 1) + (0 x 2) + (1 x 4)

=      1    +      0     +     4

= 5

Se tienen entonces que 101 en el sistema binario o de base dos es igual a 5. o lo que es lo mismo 101 es la representación en el sistema binario del numero 5.

Para evitar confusiones, se acostumbra a representar una cifra en el sistema binario escrita entre paréntesis acompañada con un subindice igual a dos, para verlo mas claro, la cifra anterior, 101 se escribiría así:

(101)₂ => Esto indica que es un numero escrito en el sistema binario.

Hagamos otro ejemplo para explicar lo anterior, si tenemos la siguiente cifra en el sistema de base dos:

(1101)₂

Para conocer su valor procedemos de la misma forma que en el ejemplo anterior, comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

1 => 1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

Segunda cifra:

0 => 0 x 2¹ = 0 x 2 = 0

Tercera cifra:

1 => 1 x 2² = 1 x 4 = 4

Cuarta cifra:

1 => 1 x 2³ = 1 x 8 = 8

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (1101)₂ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra + Resultado cuarta cifra

= (1 x 1) + (0 x 2) + (1 x 4) + (1 x 8)

=     1     +      0     +     4      +    8

= 13

Se tienen entonces que (1101)₂ es igual a 5. o lo que es lo mismo (1101)₂ es la representación en el sistema binario del numero 21. También se puede hacer el mimo procedimiento comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, ya es preferencia de cada quien como hacerlo:

Cuarta cifra:

1 => 1 x 2³ = 1 x 8 = 8

Tercera cifra:

1 => 1 x 2² = 1 x 4 = 4

Segunda cifra:

0 => 0 x 2¹ = 0 x 2 = 0

Primera cifra:

1 => 1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

Se tiene que (1101)₂ es igual a:

Resultado cuarta cifra + Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1)

= 8          +     4     +      0     +     1

= 13

El sistema de numeración binario es el usado por las computadoras, todo el procesamiento de información que realiza un computador se hace en base a 1 y 0, de allí la importancia del mismo. En las próximas publicaciones trataré sobre los sistemas de numeración octal y hexadecimal  y recuerden que pueden hacer algún comentario.