Sistemas de numeración (III). El sistema de numeración octal o base ocho

Siguiendo con esta serie, esta vez voy a hablar del sistema de numeración octal.

El sistema de numeración octal, también es llamado de base ocho, porque esa es la cantidad de números o cifras que usa:

0 1 2 3 4 5 6 7

Cada una de estas cifras tiene un valor igual que en el sistema numérico decimal:

• 0 = cero
• 1 = uno
• 2 = dos
• 3 = tres
• 4 = cuatro
• 5 = cinco
• 6 = seis
• 7 = siete

Para evitar confusiones con el sistema de base diez, a las cifras pertenecientes al sistema numérico octal se les representa entre paréntesis con un subindice igual 8:

• (0)₈
• (1)₈
• (2)₈
• (3)₈
• (4)₈
• (5)₈
• (6)₈
• (7)₈

¿Y como hacemos entonces para representar un numero distinto a estos? Pues al igual que en los sistemas decimal y binario, con estas ocho cifras podemos representar cualquier otra, para lo cual se tomará en cuenta su posición. Para explicar esto mejor, al igual que en el sistema binario (o base dos como quieran llamarlo mejor), usaremos potenciación ¿como es eso? dirán ustedes, esperen ya les explico. Si elevamos el numero 8 a otro numero, o lo que es lo mismo, si 8 tiene como exponente otro numero, significa que el número 8 se multiplica X veces. Tomando en cuenta lo anterior se tiene lo siguiente:

• 8⁰ = 1 => todo numero elevado a la 0 o con exponente igual a 0 es igual a 1
• 8¹ = 8 => todo numero elevado a la 1 o con exponente igual a 1 es igual al mismo número
• 8² = 8 x 8 = 64
• 8³ = 8 x 8 x 8 = 512
• 8⁴ = 8 x 8 x 8 x 8 = 4096
• 8⁵ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 32768
• 8⁶ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 262144
• 8⁷ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 2097152
• 8⁸ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 16777216
• 8⁹ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 134217728
• 8¹⁰ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 1073741824
• 8¹¹ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 8589934592
• Y así sucesivamente...

Entonces, de acuerdo a la posición en que esté ya sea el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o el 7 que conforme determinada cifra se le multiplicará por 8⁰ o lo que es lo mismo por 1, por 8¹ o lo que es lo mismo por 8, por 8² o lo que es lo mismo por 64, por 8³ o lo que es lo mismo por 512, por 8⁴ o lo que es lo mismo por 4096 y así sucesivamente. Para explicar mejor lo anterior hagamos un ejemplo, si se tiene la siguiente cifra:

(10)₈

Exactamente, ¿cual es el valor de este número? Pues vamos a determinarlo, comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

0 => 0 x 8⁰ = 0 x 1 = 0

Segunda cifra:

1 => 0 x 8¹ = 1 x 8 = 8

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (10)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra = (0 x 1) + (1 x 8)

= 0 + 8

= 8

Se tienen entonces que (10)₈ en el sistema octal o de base ocho es igual a 8. o lo que es lo mismo (10)₈ es la representación en el sistema octal del numero 8.

Hagamos otro ejemplo para explicar lo anterior, si tenemos la siguiente cifra en el sistema de base ocho:

(702)₈

Para conocer su valor procedemos de la misma forma que en el ejemplo anterior, comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

2 => 2 x 8⁰ = 2 x 1 = 2

Segunda cifra:

0 => 0 x 8¹ = 0 x 8 = 0

Tercera cifra:

7 => 7 x 8² = 7 x 64 = 448

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (702)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra

= (2 x 1) + (0 x 8) + (7 x 64)

= 2 + 0 + 448

= 450

Se tienen entonces que (702)₈ es igual a 450. o lo que es lo mismo (702)₈ es la representación en el sistema octal del numero 450. También se puede hacer el mimo procedimiento comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, cada quien puede hacerlo como mejor le parezca:

Tercera cifra:

7 => 7 x 8² = 7 x 64 = 448

Segunda cifra:

0 => 0 x 8¹ = 0 x 8 = 0

Primera cifra:

2 => 2 x 8⁰ = 2 x 1 = 2

Se tiene que (702)₈ es igual a:

Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (7 x 64) + (0 x 8) + (1 x 2)

= 448 + 0 + 2

= 450

Otro ejemplo para terminar de entender esto. Tenemos la siguiente cifra:

(5463)₂

Comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

3 => 3 x 8⁰ = 3 x 1 = 3

Segunda cifra:

6 => 6 x 8¹ = 6 x 8 = 48

Tercera cifra:

4 => 4 x 8² = 4 x 64 = 256

Cuarta cifra:

5 => 5 x 8³ = 5 x 512 = 2560

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (5463)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra + Resultado cuarta cifra

= (3 x 1) + (6 x 8) + (4 x 64) + (5 x 512)

= 3 + 48 + 256 + 2560

= 2867

Se tienen que (5463)₈ es igual a 2867. o lo que es lo igual (5463)₈ es la representación en el sistema octal del numero 2867. También se puede hacer comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, ya es:

Cuarta cifra:

5 => 5 x 8³ = 5 x 512 = 2560

Tercera cifra:

4 => 4 x 8² = 4 x 64 = 256

Segunda cifra:

6 => 6 x 8¹ = 6 x 8 = 48

Primera cifra:

3 => 3 x 8⁰ = 3 x 1 = 3

Se tiene que (5463)₈ es igual a:

Resultado cuarta cifra + Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (5 x 512) + (4 x 64) + (6 x 8) + (3 x 1)

= 2560 + 256 + 48 + 3

= 2867

Para terminar, recordemos que una cifra en el sistema de numeración octal solo se puede representar con ,los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Si tenemos algo como esto:

(86)₈

Esa cifra está mal escrita, ya que el 8 no se usa en el sistema de numeración octal. El sistema de numeración octal es una forma de representar números del sistema binario, pero eso es algo que hablaré luego. En la próxima publicación trataré sobre el sistema de numeración hexadecimal o de base dieciséis. Cualquier cosa comenten.