Sistemas de numeración (V). Como llevar una cifra del sistema numerico binario al decimal y viceversa

Esta es la quinta entrega de esta serie sobre los sistemas de numeración mas usados, esta vez hablaré sobre la conversión de un sistema a otro, específicamente del sistema binario al decimal y viceversa. Comencemos.

Para llevar una cifra del sistema numérico binario o base dos al decimal o base diez

Primero debemos recordar que el sistema numérico binario solo tiene dos cifras: 1 y 0 y que según su posición su valor cambiara, para lo cual debemos tener en cuenta lo siguiente:

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

2¹¹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2048

Y asi sucesivamente...

De acuerdo a la posición en que esté el 0 o el 1 que conforme determinada cifra se le multiplicará por el valor correspondiente, si el 0 o el 1 esta en la posición mas a la derecha o en el extremo derecho de la cifra, se le multiplicará por 2⁰ o lo que es lo mismo por 1, al 1 o el 0 que esta al lado izquierdo de la anterior se le multiplicará por 2¹ o lo que es lo mismo por 2, si existe otro 0 o 1 al lado izquierdo de la cifra anterior se le multiplicará por 2² o lo que es lo mismo por 4, por 2³ o lo que es lo mismo por 8, si todavia hay otro 0 o 1 al lado izquierdo se le multiplicará por 2⁴ o lo que es lo mismo por 16 y asi sucesivamente. Para explicar mejor esto hagamos un ejemplo, pero primero recordemos que para evitar confusiones con números similares en el sistema de base diez, un numero escrito en el sistema de base dos se escribe entre paréntesis con un 2 como subindice, entonces tenemos el siguiente numero y queremos llevarlo al sistema decimal:

(1101)₂

La primera cifra o lo que es lo mismo, la que tenga menor valor o menos significativa o en el extremo derecho de la cifra completa de la cifra completa, mientras que la de mayor valor o mas significativa es la que esta mas a la izquierda o en el extremo izquierdo de la cifra completa. Comenzando de derecha a izquierda.

Primera cifra:

1 => 1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

Segunda cifra:

0 => 0 x 2¹ = 0 x 2 = 0

Tercera cifra:

0 => 0 x 2² = 0 x 4 = 0

Cuarta cifra:

1 => 1 x 2³ = 1 x 8 = 8

Quinta cifra:

1 => 1 x 2⁴ = 1 x 16 = 16

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (11001)₂ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra + Resultado cuarta cifra

= (1 x 1) + (0 x 2) + (0 x 4) + (1 x 8) + (1 x 16)

= 1 + 0 + 0 + 8 + 16

= 25

Se tienen entonces que (11001)₂ es igual a 25 en el sistema decimal. También se puede hacer el mimo procedimiento comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, ya es preferencia de cada quien como hacerlo:

Quinta cifra:

1 => 1 x 2⁴ = 1 x 16 = 16

Cuarta cifra:

1 => 1 x 2³ = 1 x 8 = 8

Tercera cifra:

0 => 0 x 2² = 0 x 4 = 0

Segunda cifra:

0 => 0 x 2¹ = 0 x 2 = 0

Primera cifra:

1 => 1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

Se tiene que (1101)₂ es igual a:

Resultado cuarta cifra + Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (1 x 16) + (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1)

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1

= 25

Para llevar una cifra del sistema numérico decimal o base diez al binario o base dos

Para esto se empleará este método: Se dividirá el numero entre 2 hasta su mínima expresión, los residuos que queden de dicha división, que serán 0 o 1, son los que nos determinaran el valor en binario de dicha cifra. Por ejemplo, se tiene el siguiente numero:

250

Queremos saber cual será su valor en el sistema de base dos, dicho numero se dividirá entre dos:

Se tiene que el resultado de dicha división es 125, teniendo un residuo igual a 0. El resultado obtenido, o sea 125, se dividirá entre 2:

Esta vez el resultado que se obtuvo fue 62 y el residuo de la división fue 0. El resultado de la división anterior, que es 62 se dividirá entre 2:

Se tiene que el resultado de la división anterior es 31 con un residuo igual a 0. El resultado obtenido, o sea 31, se dividirá entre 2:

El resultado de la división anterior dio un valor igual a 15 con un residuo igual a 1. El resultado obtenido, o sea 15, se divide entre 2:

Al dividir el resultado obtenido anteriormente, que fue 15, entre 2, da un valor igual a 7, y un residuo igual a 1. El valor del resultado se divide entre dos:

Se tiene que el resultado de la división anterior es 3 con un residuo igual a 1. El resultado obtenido, o sea 3, se dividirá entre 2:

Como la división anterior dio como resultado 1, se pone como resultado 0, ya que 1 es menor que 2. Esto significa que hemos dividido hasta la mínima expresión

:

Al dividir consecutivamente entre 2, nos dio una serie de resultados con sus respectivos residuos, esto nos permitirán hallar el valor en binario de un numero del sistema de base diez, que en este caso es 250.

El residuo de la primera división, es decir, 250 entre 2, nos dará la cifra de menor valor o menos significativa, mientras que el resultado de la penúltima división, es decir, la que da como resultado un numero menor a 2, nos da el valor de la cifra de mayor valor o mas significativa:

Una vez sabido esto, podemos determinar el valor en binario de 250:

Se tiene que 250 es igual (11111010)₂ ,siendo este el procedimiento para hallar el valor en binario de cualquier numero del sistema de base diez. Para comprobarlo, pueden convertir el resultado obtenido a decimal con el procedimiento descrito anteriormente, pero esto se los dejo como tarea y pueden decirme cuanto les dio a través de un comentario. Bueno esto es todo.