Sistemas de numeración (VI). Como llevar una cifra del sistema numerico octal al decimal y viceversa

En la sexta entrega de esta serie sobre los sistemas de numeración mas usados, esta vez hablaré sobre la conversión de un número del sistema octal al decimal y viceversa, así que comencemos.

Para llevar una cifra del sistema numérico octal o base ocho al decimal o base diez

Primero debemos recordar que el sistema numérico octal consta de las siguientes cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, y que según su posición su valor cambiara, para lo cual debemos tener en cuenta lo siguiente:

8⁰ = 1

8¹ = 8

8² = 8 x 8 = 64

8³ = 8 x 8 x 8 = 512

8⁴ = 8 x 8 x 8 x 8 = 4096

8⁵ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 32768

8⁶ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 262144

8⁷ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 2097152

8⁸ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 16777216

8⁹ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 134217728

8¹⁰ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 1073741824

8¹¹ = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 8589934592

Y así sucesivamente…

De acuerdo a la posición en que esté el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7 que conforme determinada cifra se le multiplicará por el valor correspondiente, si algunas de esas cifras está en la posición mas a la derecha o en el extremo derecho de la cifra, se le multiplicará por 8⁰ o lo que es lo mismo por 1, a la que está al lado izquierdo de la anterior se le multiplicará por 8¹ o lo que es lo mismo por 8, si existe otra cifra al lado izquierdo de la anterior se le multiplicará por 8² o lo que es lo mismo por 64, si hay otra mas se le multiplica por 8³ o lo que es lo mismo por 512, si todavía hay otro número al lado izquierdo se le multiplicará por 8⁴ o lo que es lo mismo por 4096 y así sucesivamente. Para explicar mejor esto hagamos un ejemplo, pero primero recordemos que para evitar confusiones con números similares en el sistema de base diez, un numero escrito en el sistema de base octal se escribe entre paréntesis con un 8 como subindice, entonces tenemos el siguiente numero y queremos llevarlo al sistema decimal:

(612)₈

La primera cifra o lo que es lo mismo, la que tenga menor valor o menos significativa es la que esta mas a la derecha o en el extremo derecho de la cifra completa de la cifra completa, mientras que la de mayor valor o mas significativa es la que esta mas a la izquierda o en el extremo izquierdo de la cifra completa, para resolver, comenzaremos de derecha a izquierda.

Primera cifra:

2 => 2 x 8⁰ = 2 x 1 = 2

Segunda cifra:

1 => 1 x 8¹ = 1 x 8 = 8

Tercera cifra:

6 => 6 x 8² = 6 x 64 = 384

Entonces de acuerdo a los resultados anteriores, se tiene que (702)₈ es igual a:

Resultado primera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado tercera cifra

= (2 x 1) + (1 x 8) + (6 x 64)

= 2 + 8 + 384

= 394

Se tienen entonces que (612)₈ es igual a 450 en el sistema decimal. También se puede hacer el mimo procedimiento comenzando de izquierda a derecha, el resultado es el mismo, cada quien puede hacerlo como mejor le parezca:

Tercera cifra:

6 => 6 x 8² = 6 x 64 = 384

Segunda cifra:

1 => 1 x 8¹ = 1 x 8 = 8

Primera cifra:

2 => 2 x 8⁰ = 2 x 1 = 2

Se tiene que (612)₈ es igual a:

Resultado tercera cifra + Resultado segunda cifra + Resultado primera cifra

= (6 x 64) + (1 x 8) + (1 x 2)

= 384 + 8 + 2

= 394

Para llevar una cifra del sistema numérico decimal o base diez al octal o base ocho

Para esto se empleará este método: Se dividirá el numero entre 8 hasta su mínima expresión, es decir hasta tener un resultado menor que 8, los residuos que queden de dicha división, que serán 0 o 1, son los que nos determinaran el valor en binario de dicha cifra. Por ejemplo, se tiene el siguiente numero:

3333

Queremos saber cual será su valor en el sistema numérico octal, por lo que dicho numero se dividirá entre 8:

Se tiene que el resultado de dicha división es 416, teniendo un residuo igual a 6. El resultado obtenido, o sea 416, se dividirá entre 8:

Esta vez el resultado que se obtuvo fue 52 y el residuo de la división fue 0. El resultado de la división anterior, que es 52 se dividirá entre 8:

Como la división anterior dio como resultado 6, se pone como resultado 0, ya que 6 es menor que 8. Esto significa que hemos dividido hasta la mínima expresión.

Al dividir consecutivamente entre 8, nos dio una serie de resultados con sus respectivos residuos, esto nos permitirán hallar el valor en octal de un numero del sistema de base diez, que en este caso es 3333.

El residuo de la primera división, es decir, 3333 entre 8, nos dará la cifra de menor valor o menos significativa, mientras que el resultado de la penúltima división, es decir, la que da como resultado un numero menor a 8 nos da el valor de la cifra de mayor valor o mas significativa:

Una vez conocido esto, podemos determinar el valor en octal de 3333.

Les dejo como asignación el comprobar lo anterior convirtiendo el resultado obtenido a decimal con el procedimiento descrito anteriormente y me dicen que lograron a través de los comentarios. Por los momentos vamos a dejarlo hasta aquí.