Algo de historia en telefonía

Pasa a menudo

Si que pasa

Cuando debe compilar un programa

O compila o compila

Acopladores direccionales en lineas de transmision

Saludos. En esta ocasión voy a hacer una breve descripción de lo que son los acopladores direccionales en lineas de transmisión, asi que comencemos.

Primero vamos a recordar que las telecomunicaciones se basan en la transmisión de información a través de señales electromagnéticas y la transmisión de estas señales electromagnéticas se puede realizar de dos formas: transmisión radiada y transmisión guiada.

Transmisión radiada

Es la propagación de ondas electromagnéticas por el espacio libre

Transmisión guiada

Es la propagación a través de una estructura o medio que permita el confinamiento y guiado de las ondas electromagnéticas desde el origen hasta el destino. Dicha estructura o medio se le denomina línea de transmisión.

¿Que son las lineas de transmisión?

Las lineas de transmisión confinan la energía electromagnética a una región del espacio limitada por el medio físico que constituye la propia línea. La línea está formada por conductores eléctricos con una forma geométrica determinada que condiciona las características de las ondas electromagnéticas en ella. Una linea de transmisión es al menos un par de hilos metálicos separado por un aislante.

Linea de transmisión

Ejemplos de lineas de transmisión

Una de las características de las lineas de transmisión es su Impedancia. porque se comportan como un circuito eléctrico tipo RLC, ya que tratan con señales de corriente alterna, las cuales tienen diferentes frecuencias.

Impedancia de una linea de transmisión

El circuito equivalente de una linea de transmisión es el siguiente:

Circuito equivalente de una linea de transmisión

Impedancia caracteristica

Es la impedancia que se ve desde una línea infinitamente larga o la que se ve desde el largo finito de una línea que termina en una carga totalmente resistiva igual a la impedancia característica de la línea. Se calcula de esta manera:

Impedancia característica de una linea de transmisión

Acopladores

Muchas veces se debe conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. En este caso la onda que viene por la linea se refleja disminuyendo la potencia entregada a la carga y puede tener efectos adversos como sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces de causar daños. Para evitar estas situaciones existen los adaptadores, qte son mecanismos de adaptación de las impedancias entre la línea y la carga.

Acopladores direccionales

Un acoplador direccional es un dispositivo que permite detectar y separar las ondas incidentes y reflejadas en una línea de transmisión, como por ejemplo, aquella que une la salida de un transmisor de radio con la antena. Este dispositivo esta formado por cuatro puertas y básicamente consta de dos líneas de transmisión y un mecanismo de acoplo entre ellas.

Acoplador direccional

El funcionamiento es el siguiente:

• Una porción de la onda que viaja de 1 (puerto de entrada) a 2 (puerto directo respecto al puerto 1) se acopla a 3 (puerto acoplado respecto al puerto 1) pero no a 4 (puerto aislado respecto al puerto 1).
• Una porción de la onda que viaja de 2 (puerto de entrada) a 1 (puerto directo respecto al puerto 2) se acopla a 4 (puerto acoplado respecto al puerto 2) pero no a 3 (puerto aislado respecto al puerto 2).
• El análisis es análogo para los puertos 3 y 4.

Por lo tanto siempre queda una puerta aislada.

Los parámetros básicos en el funcionamiento de un acoplador direccional son el acoplo, la directividad y el aislamiento.

El acoplo, C(dB), se define como:

Acoplo de un acoplador direccional

Siendo P1 la potencia incidente en el puerto 1 (potencia de la onda progresiva que se propaga por ese acceso) y P3 la potencia que sale por el puerto 3.

El aislamiento, I(dB), se corresponde con el cociente entre P1 y P4, donde P4 es la potencia que sale por el puerto 4.

Aislamiento de un acoplador direccional

La directividad, D(dB), es el cociente entre P3 y P4:

Directividad de un acoplador direccional

Algunos tipos de acopladores direccionales son el acoplador Bethe-Hole, el cual es realizado con dos guías de onda rectangular acopladas por medio de un orificio en el plano común a ambas.

Acoplador Bethe-Hole

También están los acopladores de múltiples aberturas que en vez de acoplarse por un solo orificio lo hacen por medio de múltiples orificios separados a una distancia igual a un cuarto de onda.

Acoplador de múltiples aberturas

Asimismo están los acopladores de líneas acopladas y los acopladores Lange

Divisores de potencia

Son dispositivos que se encargan de repartir la potencia entre los puertos de salida. Normalmente lo hacen en partes iguales.

Divisor de potencia

Generalmente se busca reciprocidad en los divisores de potencia, pero se tiene como consecuencia que o no se adaptan todos los puertos o se tienen perdidas.

Los divisores de potencia de tres puertos que no presentan perdidas pero con uno de sus puertos desadaptados son conocidos como divisores de unión en T.

Divisor de unión en T

Para  lograr adaptación en todos los puertos de la unión en T se le añadirán pérdidas:

Divisor de unión en T con perdidas

Si se le añaden elementos resistivos a un divisor de potencia cuyos puertos de salida están adaptados por medio de elementos resistivos solo se disipará la potencia reflejada. A este tipo de divisores de potencia se le conoce como divisores Wilkinson.

Divisor Wilkinson

Cavidades resonantes

Como una sección de una línea de transmisión tiene características de inductancia serie y capacitancia en paralelo, entonces a una frecuencia dada habrá resonancia. Como en microondas se utilizan guías de ondas, la sección de una guía de onda a determinada frecuencia se comportará como un circuito resonante. A dicha sección de guía de onda se le llamará cavidad resonante. Una cavidad resonante se comporta como un circuito resonante en paralelo y pueden tener forma rectangular o cilíndrica.

Cavidad resonante

Bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Suscribanse a este blog y si desean hacer algún comentario o expresar alguna duda o sugerencia pueden hacerlo ¡Hasta la próxima!

Aplicación de las cónicas. Parábolas y su uso en las comunicaciones

Saludos. Esta vez vengo con la intención de responder aquella pregunta que dice así: ¿para que sirven las matemáticas? Pues bien, en este caso vamos a ver un uso practico de ellas, específicamente en las comunicaciones y mas exactamente del uso de las cónicas en especial las parábolas, pues entonces comencemos.

. 

Las cónicas son usadas actualmente en tecnología, pero antes de ver como se aplican haremos un repaso de algunos conceptos.

¿Qué son cónicas?

Las cónicas o secciones cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano, de allí el nombre. De acuerdo al ángulo en que el plano corte al cono se tendrá los distintos tipos de cónicas, los cuales son:

• Circunferencia
• Elipse
• Parábola
• Hipérbola

En la siguiente imagen se muestran los distintos tipos de cónicas:

Cónicas 

Vamos a analizar las parábolas que son las usadas en las telecomunicaciones.

¿Qué es una parábola?

Una parábola es una cónica obtenida del corte de un plano en ángulo oblicuo a un cono. Más exactamente una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de una recta fija y de un punto fijo. La recta fija es llamada directriz y el punto fijo es llamado foco. 

Parábola

La directriz es perpendicular a otra recta llamada eje en la cual está ubicado el foco, indicado por F y la distancia, que se indica por P, que hay del foco al vértice, indicado por O, es la misma que hay del vértice a la directriz, indicada por D, asimismo, por el foco pasa una recta perpendicular al eje que es llamada lado recto, indicada por la letra L, y que corta a la parábola en dos puntos. En la imagen se muestra como esta compuesta una parábola.

Como esta compuesta una parábola

Ahora bien, supongamos que el vértice O está en el origen del eje de coordenadas y que la directriz corta al eje en un punto –X, mientras que el foco es un punto P en el eje X, por lo que sus coordenadas serán (P,0), la fórmula de una parábola es:

Y² = 4PX

Ecuación de la parábola

Si la parábola tuviese su directriz perpendicular al eje Y, es decir, abriría en forma vertical, y siguiendo el razonamiento anterior, su fórmula sería:

Ecuación de la parábola vertical

Conocemos lo que es una parábola y su forma ¿Pero qué aplicación práctica le podemos encontrar a esta cónica? Pues bien, las parábolas las vemos muy a menudo, y en caso que no sea así, hacemos uso de ella hasta sin darnos cuenta, como es el caso de las antenas parabólicas, que tal como su nombre lo indica, su forma proviene de una parábola. Vemos cantidad de antenas parabólicas usadas principalmente para recibir señales de televisión por satélite, pero sirven para otras aplicaciones como telefonía, comunicaciones y en astronomía, los llamados radiotelescopios son grandes antenas parabólicas.

Antenas parabólicas

Una de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de reflexión, la cual consiste en lo siguiente: un rayo que sale del foco se refleja sobre la superficie de la parábola saliendo de forma paralela a su eje y un rayo que llegue de forma paralelo al eje de la parábola, se refleja en ella dirigiéndose al foco. Las antenas parabólicas funcionan con este principio cuando un flujo de ondas electromagnéticas choca contra su superficie, reflejándose en el foco de la parábola.

Propiedad de reflexión de las parábolas

Para diseñar una antena parabólica se usan los conceptos vistos anteriormente. Si la parábola abre en forma vertical, su ecuación es:

X² = 4PY

Si el vértice de la parábola está en el origen del eje de coordenadas, es decir, está en el punto (0,0) y el foco está ubicado en un punto P en el eje Y, por lo que sus coordenadas serán (0, P). Ahora vamos a ver los elementos de una antena parabólica y como se calculan, tal como se muestra en la siguiente figura:

Elementos de una antena parabólica

Si ahora la parábola abre en forma horizontal, su ecuación es:

Y² = 4PX

Si se asume que el vértice de la parábola está en el origen del eje de coordenadas, es decir, en el punto (0,0) y el foco está ubicado en un punto P en el eje X, por lo que sus coordenadas serán (P, 0). Los elementos de una antena parabólica y como se calculan para este caso, es de forma similar si la parábola abriera en forma vertical, tal como se muestra en la siguiente figura:

Elementos de una antena parabólica si abre horizontalmente

Hagamos un ejemplo práctico: para una antena de 6 metros de diámetro y un foco de 2 metros, calcular la profundidad y el ángulo de abertura.

Sea P el foco, D el diámetro y H la profundidad, entonces si:

D: 6 metros

P: 2 metros

Para determinar estos valores se hace lo siguiente:

Ejemplo de antena parabólica

Para que la antena obtenga su forma a la parábola se le hace girar sobre su eje:

Giro de una parábola

Para hallar el volumen de la misma, se calcula por integrales por el método de solido de revolución, el cual es igual a:

Volumen de una antena parabólica

Si la parábola abre de forma horizontal, esto se calcula así:

Volumen de una antena parabólica que abre horizontalmente

Ahora calcularemos el volumen que ocupará la antena del ejemplo anterior, para lo cual usaremos integración definida:

Ejemplo del calculo del volumen de una parábola 

Vamos a dejarlo hasta aquí. Este teme es mas extenso y quise mostrar solo un resumen del mismo, el cual espero les haya gustado. Pueden hacer cualquier comentario o sugerencia y no olviden suscribirse a este blog. ¡Hasta la próxima!

Que es el número áureo o numero phi

Saludos. En esta ocasión les relataré sobre el número áureo o número phi, el cual es uno de los mas importantes y el cual está presente hasta en la naturaleza. Sin mas nada, comencemos.

¿Que se conoce como número áureo o phi?

El número áureo, número de oro, “divina proporción”, “proporción de oro” (se pronuncia fi) es una cifra producto de una relación o proporción (tal como el número pi que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) y fue descubierto en la antigüedad al ser observada la proporción presente en figuras geométricas, siendo dicha relación o proporción un valor constante. Este número también es llamado phi (se pronuncia fi) y su símbolo la letra griega del mismo nombre (Φ), esto fue en homenaje al escultor griego Fidias, quien vivió en el siglo V A. C. y quien aplicaba esta cifra en sus obras, por ser esta es la primera letra de su nombre, siendo el ingeniero y matemático estadounidense Mark Barr quien empezó a usar dicha notación en el año 1909, mientras que el nombre de número áureo o de oro es atribuido al gran artista e inventor italiano Leonardo Da Vinci.

¿Pero puede ser cualquier proporción la que de como resultado ese valor constante?

No, no puede ser cualquier proporción o relación, sino una como la descrita por el gran matemático griego Euclides, quien en el libro 6 de su obra “Los elementos” expone lo siguiente:

“Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.”

Esto sería así: Se tiene una recta L que se divide en dos segmentos llamados a y b:

A partir de esta recta se determina el numero phi

Entonces, la relación entre la recta L, que es igual a la suma de los segmentos a y b, o sea L = a+b, y el segmento a debe ser la misma que la relación entre el segmento a y el segmento b. Cuando esta relación se cumple, se dice que los segmentos a y b están en proporción áurea:

Proporción áurea

Valor del número áureo o número phi

¿Pero cual sera el valor de dicha proporción? Para saberlo, supongamos que los segmentos a y b en los que se dividió la recta L miden X y 1 respectivamente:

a= X

b=1

Se sustituyen valores, es decir donde está a se coloca X y donde está b se coloca 1, y se hacen los cálculos correspondientes, tal como se muestra en la figura:

Como se calcula el valor del número phi

Como estamos hablando de longitudes, se toma la solución negativa, entonces El número áureo, número de oro, “divina proporción”, “proporción de oro” o número phi (Φ) es igual a :

Valor del numero phi

 Con lo anterior, se observa también que el número phi es un número irracional, ya que no se puede representar como la fracción de dos enteros.

Si ahora en a en vez de X colocamos el valor de Φ, mientras que b sigue valiendo, tendremos lo siguiente:

Propiedad del número phi

Se obtiene la misma cifra a ambos lados de la igualdad, lo que indica que se tiene igual proporción. Asimismo, esto nos indica que el numero phi se puede escribir también en términos de si mismo:

Otra propiedad del número phi

Mas específicamente, siempre se cumplirá que:

Otra propiedad del número phi

El numero áureo también se puede determinar mediante fracciones continuas y por raíces anidadas

Otra forma de calcular el valor del número phi

El numero phi cuenta con una enorme cantidad de decimales, llegándose en el año 2000 a calcularle billón y medio.

Propiedades del número phi

El número áureo o número phi tiene las siguientes particularidades que lo hacen único:

El número phi ( Φ) elevado al cuadrado es igual a la suma de este mas 1:

Número phi al cuadrado

El número phi ( Φ) menos 1 es igual a su inverso:

Inverso del número phi

 El número phi ( Φ) elevado al cubo es igual a:

  

Número phi al cubo

 Asimismo se tiene que:

Potencia del número phi

El rectángulo áureo

Una aplicación de este número especial es en el llamado rectángulo áureo, el cual es un rectángulo en el que la proporción entre sus lados es igual al número áureo. Es llamado así ya que por sus proporciones resulta ser agradable a la vista, siendo conocido por los antiguos griegos que lo usaban para diseñar sus templos y edificios. Este rectángulo se crea de la siguiente manera: se tiene un cuadrado al cual se le marca el punto medio de uno de sus lados. Este punto se une con uno de los vértices del lado opuesto con una recta y se lleva dicha recta sobre el lado inicial, obteniéndose el lado mayor del rectángulo. Si se divide la distancia del lado mayor con la distancia del lado menor, se tendrá como resultado el numero phi.

Rectángulo áureo

Para demostrar lo anterior, se hará un ejemplo para un cuadrado cuyos lados miden 6 centímetros, para lo cual se traza una recta que va desde el punto medio de uno de sus lados hasta uno de los vértices. Dicha recta medirá 6,7 centímetros y se moverá hasta el lado inicial del cuadrado, el cual pasa convertirse en un rectángulo cuyos lados miden 9,7 y 6 centímetros. Al dividirse dichos valores se obtendrá el número phi, tal como se muestra en la imagen.

Demostración del rectángulo áureo

Por lo tanto, al momento de querer hacer un rectángulo áureo, conociendo la longitud de su lado menor, es decir, la altura del mismo, solo hay que multiplicar dicho valor por el del numero phi para hallar su lado menor, o lo que es lo mismo, su base, y si se sabe cuanto mide su lado mayor, o sea la base de rectángulo, solo hay que dividir este valor entre el del numero phi para saber cuanto valdrá su lado menor o altura, tal como se muestra en este ejemplo:

Como se calcula un rectángulo áureo

Una propiedad de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales tal como se muestra en la figura, si se traza una diagonal desde la esquina inferior hasta la superior del conjunto, dicha diagonal pasa por tres vértices.

Propiedad del rectángulo áureo

El rectángulo áureo tiene gran uso en el arte y la arquitectura. Como se dijo anteriormente se le usaba en la Antigua Grecia en el diseño de sus edificaciones como el Partenon. Asimismo se le usa también en el diseño industrial, como por ejemplo las cajas de cigarros, carnets de identidad o las tarjetas de crédito.

Ejemplo del uso del rectángulo áureo

El numero áureo en geometría. Caso del pentágono y el pentagrama

Si se tiene un pentágono de vértices ABCDE. Si se traza una recta desde el vértice B hasta el vértice D, al dividir la distancia de dicha recta entre la del lado AB, da como resultado el numero phi. Lo mismo ocurre si se traza otra recta, esta vez entre los vértices E y C y se divide la distancia de la misma entre la del lado AE.

El numero áureo en el pentágono

Si se trazan otra recta esta vez entre los vértices B y E, otra entre los vértices A y D y entre los vértices A y C se obtiene una figura llamada pentagrama, en la cual también está presente en las proporciones de sus lados el número áureo, tal como se explica en la figura.

Pentagrama y número phi

El ángulo de oro o áureo

Es la relación angular de proporción igual al numero phi entre dos segmentos que se les ha dado forma curva hasta formar un circulo. Este angulo se calcula tal como se muestra en la figura:

Angulo de oro

El angulo de oro está presente en la naturaleza. En el crecimiento de algunas plantas, las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo. Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas y que éstas no se tapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

Relación entre el número phi y la serie de Fibonacci

Serie de Fibonacci

Descubierta por el matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Esta serie es una sucesión de números naturales en la que los dos primeros números de la sucesión son 0 y 1 y los términos restantes son la suma de los 2 términos anteriores, tal como se muestra:

Primer termino: 0

Segundo termino: 1

Tercer termino: Se suman el primer y segundo termino

0 + 1 = 1

Cuarto termino: Se suman el segundo y tercer termino.

1 + 1 = 2

Quinto termino: Se suman el cuarto y tercer termino

1 + 2 = 3

Sexto termino: Se suman el cuarto y quinto termino.

3 + 2 = 5

y así sucesivamente, por lo que la serie de Fibonacci es de esta forma:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...

Esta serie es infinita.

Ahora bien, Si a partir del segundo termino dividimos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtendremos un valor aproximado al número phi tal como se muestra a continuación:

2/1 =2

3/2 = 1,5

5/3 = 1,66667

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,61538

34/21 = 1,61904

55/34 = 1,61764

89/55 = 1,61818

144/89 = 1,61797

233/144 = 1,61805

377/233 = 1,61802

610/377 = 1,61803

Si se llama F_n a un numero de la serie de Fibonacci y F_n+1 al numero siguiente, el numero phi se expresa así:

Otra forma de expresar al número phi

Ahora vamos a suponer que tenemos un rectángulo cuyos lados tienen como valor dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci y digamos que el lado mayor o base mide 21 unidades y el lado menor o altura mide 13 unidades. Como vimos anteriormente, si dividimos estos números obtendremos un valor aproximado al número phi. Ahora dividimos la base o lado mayor en dos partes, una que mida 13 unidades y la otra 8, siendo 13 y 8 dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci, luego se divide la altura o lado menor en dos partes, una de 5 y otra de 8 unidades, y se sigue dividiendo hasta obtener una serie de cuadrados, tal como se muestra en la figura, indicándose la longitud de los lados de cada uno de estos, siendo la mismas números incluidos en la serie de Fibonacci

División de un rectángulo áureo en varios cuadros con medidas iguales a términos de la serie de Fibonacci

Si se traza una curva que una los vértices de uno de los cuadrados mas pequeños y dicha curva se va estirando, pasando por los vértices tal como se muestra en la figura se obtendrá la famosa espiral dorada o espiral de Fibonacci.

Espiral dorada o de Fibonacci

La espiral dorada es usada tanto en arte, arquitectura y diseño industrial y está presente también en la naturaleza.

La espiral dorada esta presente en el diseño y en la naturaleza

El numero áureo está muchas partes incluyendo el cuerpo humano, ya que al dividir la distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona con la de su altura total da como resultado este número algo que se ve en el #Hombre de Vitruvio” pintado por Leonardo Da Vinci.

En el "Hombre de Vitruvio" se muestra la presencia del numero phi en el cuerpo humano

El numero áureo o phi es de gran importancia y esto solo fue un resumen del mismo. bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Espero que haya sido de su agrado, si tienen algún comentario pueden hacerlo, igual que cualquier duda o sugerencia. ¡Hasta la próxima!