Saludos En esta publicación haré una explicación de la sucesión o serie de Fibonacci, así que empecemos,
Primero que nada debemos saber:
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un
conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un
cierto orden.
Conocido esto, vamos a ver que:
¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La
sucesión o serie de Fibonacci es una sucesión infinita de números
naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Los
dos primeros números de la sucesión son 0 y 1. Los otros términos
son la suma de los 2 términos anteriores
en la sucesión: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+19=21…
A los elementos de
esta sucesión se les llama números de Fibonacci.
Cada número se
calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula
sumando (1+1)
El 3 es (1+2)
El 5 es (2+3)
y así sucesivamente
Basándose en lo
anterior, la sucesión de Fibonacci se puede escribir como una regla,
la cual es
Xn
= Xn-1 + Xn-2
Donde:
Xn es el
término en posición "n"
Xn-1 es
el término anterior (n-1)
Xn-2 es
el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto
término, es decir, n=6, se calcularía así:
X6 = X6-1
+ X6-2 = X5 + X4 = 5 + 3 = 8
Lo anterior es
valido si y solo si n es mayor o igual a 2: n ≥
2
Si n es igual a 0,
el termino obtenido es igual a 0:
Si n=0, entonces: X0
= 0
Si n es igual a 1,
el termino obtenido es igual a 1:
Si n=1, entonces: X1
= 1
Por lo tanto, la
sucesión de Fibonacci también se puede representar así:
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| Sucesión de Fibonacci |
El nombre de
sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa, también conocido
como Fibonacci, quien fue un matemático italiano que vivió en el
siglo XIII, si bien esta sucesion ya se conocia en la India mucho
tiempo antes.
Fibonacci presentó
la sucesión en su obra Liber Abaci, en 1202, y manifiesta haberla
encontrado al resolver el problema de la cría de conejos: "Cierto
hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y
desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año,
cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el
segundo mes los nacidos parir también".
Esto seria así:
Partimos de una
pareja de conejos el primer mes.
El segundo mes la
pareja envejece pero no procrea.
El tercer mes la
pareja procrea otra pareja (tenemos dos parejas).
El cuarto mes, la
primera pareja vuelve a procrear y la pareja nueva envejece sin
procrear (tenemos tres parejas).
El quinto mes, las
dos parejas más viejas vuelven a procrear mientras que la nueva
pareja no procrea (tenemos cinco parejas)
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| Origen de la sucesión de Fibonacci |
Se tiene la
siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5,,,,,, esto seguirá
indefinidamente
Asimismo se tiene
que: 1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
Y asi sucesivamente.
Otras formas de determinar la sucesión de Fibonacci
La sucesión de
Fibonacci también se puede determinar de las siguientes maneras.
Función generadora
Cada número de Fibonacci se puede calcular por medio de la función generadora que es igual a:
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| Función generadora |
Por medio del número áureo
Cada número de
Fibonacci se puede calcular por el número áureo así:
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| Calculo de números de Fibonacci por el numero áureo |
Donde:
Φ:
número áureo,
que es aproximadamente igual a 1,618…
n
es el número de Fibonacci a buscar
También la sucesión
de Fibonacci se obtiene por medio del llamado triangulo de Pascal, de
la siguiente manera:
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| Determinación de la sucesión de Fibonacci por el triangulo de Pascal |
Otras características de la sucesión de Fibonacci
Si se construye un
rectángulo con cuadrados internos que son la longitud de los números
de Fibonacci, este se asemeja al rectángulo áureo.
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| Rectángulo áureo a partir de la sucesión de Fibonacci |
En la sucesión de
Fibonacci, un termino de cada 3 es par, un termino de cada 4 es
múltiplo de 3, un termino de 5 es múltiplo de 5 y un termino de
cada 7 es múltiplo de 13.
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| Múltiplos en la sucesión de Fibonacci |
El máximo común
divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci.
Bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Espero les sirva de utilidad esta introducción a la sucesión de Fibonacci ¡Hasta la próxima!
