lunes, 3 de septiembre de 2018

La sucesion de Fibonacci

Saludos En esta publicación haré una explicación de la sucesión o serie de Fibonacci, así que empecemos,

Primero que nada debemos saber:

¿Qué es una sucesión?


Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Conocido esto, vamos a ver que:

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?


La sucesión o serie de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Los dos primeros números de la sucesión son 0 y 1. Los otros términos son la suma de los 2 términos anteriores en la sucesión: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+19=21…

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci.

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula sumando (1+1)
El 3 es (1+2)
El 5 es (2+3)
y así sucesivamente

Basándose en lo anterior, la sucesión de Fibonacci se puede escribir como una regla, la cual es

Xn = Xn-1 + Xn-2
Donde:
Xn es el término en posición "n"
Xn-1 es el término anterior (n-1)
Xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término, es decir, n=6, se calcularía así:

X6 = X6-1 + X6-2 = X5 + X4 = 5 + 3 = 8

Lo anterior es valido si y solo si n es mayor o igual a 2: n 2

Si n es igual a 0, el termino obtenido es igual a 0:
Si n=0, entonces: X0 = 0

Si n es igual a 1, el termino obtenido es igual a 1:
Si n=1, entonces: X1 = 1

Por lo tanto, la sucesión de Fibonacci también se puede representar así:


Sucesion de Fibonacci
Sucesión de Fibonacci

El nombre de sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, quien fue un matemático italiano que vivió en el siglo XIII, si bien esta sucesion ya se conocia en la India mucho tiempo antes.

Fibonacci presentó la sucesión en su obra Liber Abaci, en 1202, y manifiesta haberla encontrado al resolver el problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año, cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".

Esto seria así:
Partimos de una pareja de conejos el primer mes.
El segundo mes la pareja envejece pero no procrea.
El tercer mes la pareja procrea otra pareja (tenemos dos parejas).
El cuarto mes, la primera pareja vuelve a procrear y la pareja nueva envejece sin procrear (tenemos tres parejas).
El quinto mes, las dos parejas más viejas vuelven a procrear mientras que la nueva pareja no procrea (tenemos cinco parejas)

Origen de la sucesion de Fibonacci
Origen de la sucesión de Fibonacci

Se tiene la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5,,,,,, esto seguirá indefinidamente

Asimismo se tiene que: 1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
Y asi sucesivamente.

Otras formas de determinar la sucesión de Fibonacci


La sucesión de Fibonacci también se puede determinar de las siguientes maneras.

Función generadora


Cada número de Fibonacci se puede calcular por medio de la función generadora que es igual a:

Funcion generadora
Función generadora

Por medio del número áureo


Cada número de Fibonacci se puede calcular por el número áureo así:

Fibonacci-numero aureo
Calculo de números de Fibonacci por el numero áureo
Donde:
Φ: número áureo, que es aproximadamente igual a 1,618…
n es el número de Fibonacci a buscar

También la sucesión de Fibonacci se obtiene por medio del llamado triangulo de Pascal, de la siguiente manera:

Fibonacci-Pascal
Determinación de la sucesión de Fibonacci por el triangulo de Pascal

Otras características de la sucesión de Fibonacci


Si se construye un rectángulo con cuadrados internos que son la longitud de los números de Fibonacci, este se asemeja al rectángulo áureo.


Fibonacci-rectangulo aureo
Rectángulo áureo a partir de la sucesión de Fibonacci

En la sucesión de Fibonacci, un termino de cada 3 es par, un termino de cada 4 es múltiplo de 3, un termino de 5 es múltiplo de 5 y un termino de cada 7 es múltiplo de 13.

Multiplos en la sucesion de Fibonacci
Múltiplos en la sucesión de Fibonacci


El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci.


Bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Espero les sirva de utilidad esta introducción a la sucesión de Fibonacci ¡Hasta la próxima!

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