Sobre la división entre cero y la raíz cuadrada de un numero negativo

Saludos en esta ocasión les hablaré sobre la división de un número entre cero y la raíz cuadrada de un numero negativo, específicamente el porque dichas operaciones no están definidas o no existen. Para empezar tenemos la siguiente pregunta.

¿Por qué la división entre cero no está definida?

Para responder esto, vamos a demostrar de forma simple y sencilla que la división entre cero no esta definida o mejor dicho no existe. Primero recordemos cuales son las partes de una división:

• Dividendo: Es lo que se va a dividir
• Divisor: Es lo que divide al dividendo
• Cociente: Es el resultado de la división
• Residuo: Es un número que queda al final de la división y puede ser igual o distinto a cero. Si el residuo es igual a cero se dice que la división es exacta, de lo contrario se dice que la división es inexacta.

Partes de una división

Asimismo, una división puede representarse en forma de fracción. En este caso no aparece el residuo.

División en forma de fracción

Vamos a partir del principio que el dividendo puede ser cualquier numero real y supondremos también. que el divisor puede ser cualquier numero real. Por ejemplo vamos a dividir 16 entre 2, entonces se tiene que 16 es el dividendo, es decir el numero que se va dividir y 2 es el divisor, o sea la cifra con la que va a dividir el dividendo.

División de dos números

Para resolver esto buscaremos un número que multiplicado por 2 sea igual o cercano a 16, dicho número es 8, ya que 2 x 8 = 16.

Que numero multiplicado por 2 es igual a 16

Como 2 x 8 = 16 y siendo 16 el valor del dividendo, decimos que el resultado de la división, o sea el cociente es igual a 8 y que el residuo, que es el resultado de restar el producto de 2 x 8 y el valor del dividendo es cero:

(2 x 8) – 16 = 0

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta.

Resultado de la división

Como habíamos dicho que el dividendo puede ser cualquier número real, vamos a suponer que este vale cero como en el siguiente ejemplo donde dividiremos 0 entre 3.

Dividir cero entre otro número

Para resolver esto buscaremos un número que multiplicado por 3 sea igual a 0, dicho número es 0, ya que todo numero multiplicado por 0 es igual a 0.

Como se resuelve la división de cero entre otro número

El resultado de la dividir 0 entre 3 es 0.

Resultado de dividir cero entre otro número

Siguiendo el análisis anterior siempre que se divida 0 entre cualquier numero, el resultado será 0.

Cero dividido entre otro número siempre da como resultado cero

Ahora bien ¿que pasaría si el divisor es igual a 0? Es decir, ¿Cual sería el resultado de dividir un número entre 0? Para esto haremos el siguiente ejemplo: Vamos a dividir 10 entre 0.

Ejemplo de división de un número entre cero

Al tratar de hacer esta división surge esta interrogante ¿Que numero multiplicado por 0 da como resultado 10?

Tratando de resolver la división de un número entre cero

La respuesta es simple: ninguno, ya que todo numero multiplicado por 0 es igual a 0, por lo esta división no tendrá solución.

Al tratar de resolver la división de un número entre cero se observa que es imposible hacerlo

Por lo tanto, tomando en cuenta el análisis anterior, se concluye que no existe la división de un numero entre 0.

No se puede dividir entre cero

Y así queda demostrado porque la división entre cero no está definida.

La división entre cero no está definida

Ahora se nos presenta esta duda:

¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?

Bueno para ser mas exacto, la pregunta debería ser si la raíz de indice par de un número negativo existe, cuando decimos raíz de indice par nos referimos a raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc. Para responder esto, primero repasemos lo que es radicación, para lo cual recordaremos lo que es potenciación, que no es mas que la multiplicación de un numero una determinada cantidad de veces por si mismo.

Potenciación

Si llamamos al numero que se multiplica por si mismo base y al numero de veces que se multiplicará lo llamamos exponente, la potenciación se representará así:

Representación de la potenciación

Por ejemplo cuando decimos “4 al cuadrado” o lo que es lo mismo “4 a la 2”, estamos diciendo que el numero 4 tendrá como exponente al numero 2, o lo que es lo mismo que 4 esta elevado a un exponente igual a 2, lo que indica que 4 se multiplicará por si mismo 2 veces y el resultado de multiplicar por si mismo la base tantas veces según lo indique el exponente se llama potencia, que en este caso será igual:

4² = 4 x 4 = 16

Ejemplo de potenciación

Si al elevar un numero a un exponente se obtiene otro numero, por ejemplo sea un numero Y que elevado a un numero n, que quiere decir que Y se multiplicará por si mismo n veces, lo que dará como resultado un numero X ¿Se podrá hacer la operación inversa?, Es decir ¿Que número Y elevado a un exponente n dará como resultado el número X? Pues esa operación se puede hacer y es conocida como radicación y es el proceso de hallar ese numero Y que elevado a la n da como resultado X.

Radicación

Este es el signo de radicación:

Signo de radicación o signo de radical

Mediante la radicación se halla la raíz de un numero la cual se representa así:

Raíz de un número

La raíz de un numero X (cantidad subradical, que es el número al cual queremos hallarle su raíz)no es mas que hallar el numero Y que elevado a un exponente n (indice de la raíz) da como resultado el número X. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, ya que 4² = 16, Igualmente, la raíz cúbica de 27 es 3 ya que 3³ = 27.

Cálculo de la raíz de un número

Tomando en cuenta lo anterior ¿Qué pasa si queremos hallar la raíz cuadrada de un número negativo?. Antes de hacer esto repasemos la ley de los signos:

+ x +	=	+
+ x -	=	-
- x +	=	-
- x -	=	+

Según lo mostrado anteriormente, si multiplicamos dos números con signos iguales el resultado será positivo y si multiplicamos dos números con signos iguales el resultado será negativo.

De acuerdo a lo dicho en el párrafo anterior y sabiendo que la raíz de un numero X es hallar el numero Y que elevado a un exponente n para obtener el número X, si el exponente es igual a 2, entonces la raíz cuadrada de ese numero X será Y, donde si elevamos al cuadrado (o a la 2, es lo mismo) obtendremos a X, que es el caso de 16, donde su raíz cuadrada es igual a 4 y al elevar al cuadrado 4 da como resultado 16. Ahora, si ese número fuera negativo como por ejemplo -16, y que suponiendo que el resultado obtenido en el calculo de esa raíz cuadrada fuese un número Y, al elevarlo al cuadrado debería ser igual a -16, algo que no es posible, ya que de acuerdo con las regla de los signos si Y fuese negativo al elevarlo al cuadrado, osea, multiplicarlo dos veces se tendrá un número positivo, nunca negativo, lo mismo pasa si Y es positivo:

(-Y)² = (-Y) x (-Y) = Valor positivo

Y² = Y x Y = Valor positivo

Por lo tanto se concluye que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Esto es valido para las raíces de indice par, ya que si se hace el mismo razonamiento se demostrará que las raices de indice par de números negativos no existen.

Demostración del porque no existen las raíces cuadradas y de indice par de números negativos

En el caso de raíces con indice impar (raíz cúbica, quinta, séptima, etc) estas si existen para números negativos. Por ejemplo, la raíz cúbica de -27 existe y es igual a -3, ya que:

(-3) x (-3) x (-3) = -27

Demostración del porque existen las raíces de indice impar de números negativos

Para terminar, la conclusión exacta es que las raíces cuadradas así como de indice par de números negativos no existen específicamente para los números reales, los cuales son todos los números conocidos. Cuando se trabajan con raíces cuadradas de números negativos se entra en el campo de los números imaginarios, pero ya esto es material de otra publicación. Como esto se hizo largo vamos a dejarlo hasta aquí. Cualquier duda, sugerencia o comentario, pueden hacerlo tranquilamente. ¡Hasta la próxima!

Leyes de Kirchhoff

¿Como están? En esta ocasión les haré una explicación de  las leyes de Kirchhoff, así que comencemos.

La ley de Ohm es una de la mas importantes en electricidad, pero hay otras tan relevantes como esta y que le sirven de complemento como es el caso de las leyes de Kirchhoff, pero antes de explicarlas, vamos a repasar unos conceptos que nos ayudará a entender mejor dichas leyes y que ademas son básicos pero esenciales en el estudio y análisis de circuitos eléctricos como son nodo y malla.

¿Que es un nodo?

Un nodo es un punto donde se unen dos o mas elementos en un circuito.

Un nodo es un punto donde se unen dos o mas componentes.

Por un nodo entran y salen diferentes corrientes o intensidades.

En un nodo entran y salen corrientes

¿Que es una malla

Una malla es el recorrido cerrado en un circuito.

Una malla es un recorrido cerrado en un circuito

Por una malla circulará una intensidad o corriente, la cual al pasar por los elementos presentes en la misma generará en sus extremos una tensión, diferencia de potencial o voltaje, la cual es llamada caída de tensión o caída de voltaje.

En una malla se producen tensiones (o caídas de tensión) en los elementos que hay en ella al paso de una corriente a través de ellos

Leyes de Kirchhoff

Estas leyes fueron establecidas por el físico alemán Gustav Kirchhoff, quien ademas de estudiar los fenómenos eléctricos, también lo hizo con la termodinámica, es por eso que en ese campo también existen unas leyes de Kirchhoff. Para el caso de la electricidad, estas leyes fueron enunciadas en el año 1845 basándose en los estudios de otro físico alemán llamado George Simon Ohm, el mismo quien enunció la ley que lleva su nombre (la famosa ley de Ohm), y son las siguientes:

• Primera ley de Kirchhoff, también conocida como ley de las corrientes de Kirchhoff o ley de los nodos de Kirchhoff.
• Segunda ley de Kirchhoff, también conocida como ley de las tensiones de Kirchhoff o ley de las mallas de Kirchhoff.

En 1845 Gustav Kirchhoff enunció las leyes que llevan su nombre

Procederemos a explicarlas detalladamente.

Primera ley de Kirchhoff

Llamada también ley de las corrientes de Kirchhoff o ley de los nodos de Kirchhoff, dice lo siguiente:

“La suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a cero.”

Ahora bien...

 ¿Que es una suma algebraica?

Una suma algebraica es una mezcla de sumas y restas, es en la que se suman números tanto negativos como positivos, ejemplo:

8 + 6 + 3 + (-14) + (-3) = 8 + 6 + 3 – 14 - 3

La primera ley de Kirchhoff también se puede expresar así:

“La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.”

En la siguiente imagen se tiene un nodo al cual están conectado tres resistencias, Ra, Rb y Rc, por las cuales pasa por cada una de ellas una corriente, las cuales serán llamadas Ia, Ib e Ic, donde Ia es la corriente que entra al nodo, mientras que Ib e Ic están saliendo del mismo.

Asumiendo que las corrientes que entran al nodo son positivas, como es el caso de Ia, y las corrientes que salen son negativas, como pasa con Ib e Ic, según la primera ley de Kirchhoff se tiene que:

Ia – Ib – Ic = 0

Primera ley de Kirchhoff: La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero

Esto significa que al hacer la suma algebraica de los valores de Ia, Ib e Ic, el resultado debe ser cero.

Asimismo, como la primera ley de Kirchoff también se puede expresar que la suma de las corrientes que llegan a un nodo es igial a la suma de las corrientes que salen, entonces se puede decir también que:

Ia = Ib + Ic

Es decir que la suma de Ib e Ic, que son las corrientes que salen del nodo debe ser igual a Ia, que es la corriente que entra al nodo. Despejando matemáticamente se tiene que:

Ia – Ib – Ic = 0

Otra forma de expresar la primera ley de Kirchhoff

En la imagen se muestra un ejemplo, en donde se tienen tres resistencias: Ra, Rb y Rc, por cada una de ellas pasa una corriente identificadas como Ia, Ib e Ic, con valor de 7A, 5A y 2A respectivamente y donde Ia es la corriente que entra al nodo mientras que Ib e Ic son las que salen del mismo. Se demostrará como se cumple la pri,era ley de Kirchhoff.

Ejemplo de la primera ley de Kirchhoff

Si esto no se cumple, tal como se muestra en la siguiente imagen, donde Ia, Ib e Ic, tienen como valores 7A, 7A y 2A respectivamente, y al hacer los cálculos correspondientes se observa que la suma algebraica es distinta de cero o la suma de las corrientes que entran es distinta a la suma de las corrientes que salen, es porque hay un error en el análisis del circuito.

Ejemplo de error en un circuito al no cumplirse la primera ley de Kirchhoff

Ahora explicaremos la segunda ley de Kirchhoff.

Segunda ley de Kirchhoff

También conocida como la ley de las tensiones de Kirchhoff o la ley de las mallas de Kirchhoff, dice lo siguiente:

“La suma algebraica de las tensiones en una malla es igual a cero.”

Al pasar una corriente por los elementos de un circuito, se genera una tensión (o caída de tensión) en los extremos de estos, la suma algebraica de estas tensiones, junto a los valores de las fuentes de tensión, en el caso que estén presentes en la malla debe ser igual a cero.  

La suma algebraica de las tensiones presentes en una malla debe ser igual a cero

Hay algo que tomar en cuenta a la hora de hacer el análisis de una malla con la segunda ley de Kirchhoff (tambien para cualquier análisis de circuitos eléctricos) y es la polaridad de las tensiones presentes en un circuito. Esto es necesario para sumar algebraicamente las diferentes tensiones.

Una fuente de tensión tiene dos terminales o polos: uno positivo (+) y uno negativo (-). Cuando se conectan elementos a la fuente, se asume que la corriente que circulará por estos sale del terminal o polo positivo y regresa por el terminal o polo positivo (aunque en algunas partes se expresa lo contrario, es decir la corriente sale por el polo o terminal negativo y regresa por el polo o terminal positivo). Se dijo que el paso de una corriente por un elemento, como por ejemplo una resistencia, crea una tensión (esta es llamada también caída de tensión), la polaridad de esta tensión es de esta forma: el punto por donde entra la corriente al elemento será el polo positivo de la tensión (o caída de tensión) en el elemento, y por donde sale la corriente será el polo negativo. Esto se ilustra en la siguiente imagen.

Como se determinan las polaridades de las tensiones en un circuito

El signo de la tensión, es decir, si el valor de la tensión será positivo o negativo, se determina tomando en cuenta la polaridad de la tensión en un elemento, es decir, en donde estará ubicado el polo positivo y el polo negativo. Esto se hace de la siguiente manera, tomando en cuenta que la polaridad se produce según el paso de la corriente por el elemento:

Polaridades de las tensiones en un circuito

De acuerdo a lo anterior se tiene lo siguiente:

E (tensión de la fuente): positivo

Ea (tensión en Ra): negativo

Eb (tensión en Rb): negativo

Ec (tensión en Rc): negativo

Por lo tanto, tomando en cuenta lo anterior por la segunda ley de Kirchhoff se tiene que:

E – Ea – Eb -Ec = 0

Segunda ley de Kirchhoff: La suma algebraica de las tensiones en una malla es cero

Esto quiere decir que al sumar algebraicamente los valores de E, Ea, Eb y Ec se tendrá como resultado cero.

También se puede decir que:

E = Ea – Eb -Ec

Es decir que la suma de Ea, Eb y Ec, que son las tensiones presentes en las resistencias debe ser igual a E, que es el valor de la fuente (o la tensión principal) que alimenta al circuito. Despejando matemáticamente se tiene que:

E – Ea – Eb -Ec = 0

Otra forma de expresar la segunda ley de Kirchhoff

En la imagen se muestra un ejemplo, en donde se tienen tres resistencias: Ra, Rb y Rc, cada una de ellas tiene una tensión identificadas como Ea, Eb y Ec, con valor de 7V, 5V y 8V respectivamente y E es la fuente de tensión que alimenta al circuito, cuyo valor es de 20V. Se demostrará como se cumple la segunda ley de Kirchhoff.

Ejemplo de la segunda ley de Kirchhoff

Si esto no se cumple, tal como se muestra en la siguiente imagen, donde E, Ea, Eb y Ec, tienen como valores 25V, 7V, 11V y 2V respectivamente, y al hacer los cálculos correspondientes se observa que la suma algebraica es distinta de cero o la suma de las tensiones de los elementos de la malla es distinta al valor de la fuente de tensión (o la tensión principal en la malla), es porque hay un error en el análisis del circuito.

Ejemplo de error en un circuito al no cumplirse la segunda ley de Kirchhoff

Bueno,como esto se ha hecho muy largo vamos a dejarlo hasta aquí. Como conclusión diremos que las leyes de Kirchhoff junto con la ley de Ohm son las bases del análisis y estudio de los circuitos eléctricos, tanto de los mas sencillos a los mas complicados. Hasta la próxima publicación y recuerden comentar y suscribirse a este blog.

Introducción a PHP

Saludos ¿Como estan? En esta ocasión haré una introducción a PHP, el cual es un lenguaje de programación muy utilizado actualmente. ¡Comencemos!

PHP (siglas en ingles de Hypertext Preprocessor) es un lenguaje de programación de código abierto, que quiere decir que de uso libre y gratuito, el cual fue creado por el ingeniero informático groenlandés Rasmus Lerdorf y cuya primera versión apareció en 1995 con el nombre de PHP/FI (FI son las siglas de Forms Interpreter). Originalmente PHP significaba Personal Home Page ya que fue creado para la página web personal de Lerdorf.

¿Que es PHP?

Logo y mascota de PHP

Este es el creador de PHP

La segunda versión de PHP apareció en 1997 con el nombre de PHP/FI 2.0 y contó con la colaboración de varias personas para su desarrollo. Como el código fuente de PHP fue liberado por Lerdorf desde la primera versión, dos programadores israelíes, Andi Gutsman y Zeev Suraski lo reescribieron para asi obtener una tercera versión de este lenguaje de programación y en la que ademas desaparece el nombre de PHP/FI para ser conocido de ahira en adelante como PHP que son las siglas de Hypertext Preprocessor. Esta tercera versión, PHP 3, la cual fue lanzada en 1998, es la mas parecida a las versiones actuales.

Al modificar el código fuente de PHP obtuvieron una versión parecida a las actuales

osteriormente Gutsman y Suraski, le hicieron otras modificaciones al código fuente de PHP, añadiendole el motor Zend, el cual se encarga de la interpretación y cifrado del código de los programa PHP asi como mejoras en el mantenimiento de aplicaciones, para lanzar en el año 2000 PHP 4. al motor Zend se les hizo unas mejoras que fueron incorporadas en la siguiente versión que es PHP 5 en el año 2004. La versión mas reciente es la PHP 7, que apareció en el año 2015. Un detalle importante es que la version PHP 6 tuvo constantes retrasos en su lanzamiento hasta que este fue cancelado, por lo que se pasó directamente de la versión PHP 5 a la versión PHP 7.

Versiones	Lanzamiento
1 (PHP/FI)	1995
2 (PHP/FI 2.0)	1997
3	1998
4	2000
5	2004
6	Lanzamiento cancelado
7	2015

Las versiones 1, 2, 3 y 4 están descontinuadas, por lo que solo están vigentes las versiones 5 y 7, específicamente que reciben soporte, que quiere decir se le hacen revisiones y corrección de errores o bugs. Asimismo, cada versión ha tenido diferentes mejoras desde su lanzamiento hasta el surgimiento de la siguiente versión. Por ejemplo, la versión PHP 4 que fue lanzada en el año 2000 hasta el lanzamiento de PHP 5 en el 2004 tuvo varias mejoras: 4.1, 4.2, 4.3 y 4,4. En el caso de la versión PHP 4 que fue lanzada en el año 2004 hasta el lanzamiento de PHP 7 en el 2015 tuvo estas mejoras: 5.1, 5.2, 5.3, 5,4, 5,5 y 5,6. Para la versión PHP 7, esta ha tenido las siguientes mejoras: 7,1 y 7,2.

Se dijo que las versiones PHP 5 y PHP 7 son las que siguen recibiendo soporte. Para el caso de PHP 5, específicamente las versiones 5.5 y 5.6.

Versiones actualmente vigentes de PHP

La explicación del porque la mascota de PHP es un elefante

Luego de conocer algo de la historia de este este lenguaje de programación y sus versiones, se nos presenta la siguiente interrogante.

¿Para que sirve PHP?

PHP es, como se dijo, un lenguaje de programación de código abierto el cual sirve para crear páginas web dinámicas.

Ya sabemos para que sirve PHP, pero...

¿Que es una página web dinámica?

Una página web dinámica es aquella cuyo contenido cambia. Mientras que las páginas web estáticas, el contenido de la misma no varía, en una página web dinámica la información mostrada en ella se genera a partir de la petición hecha por un usuario, el procesamiento y respuesta de dicha petición genera cambios en la página, los cuales se hacen en el servidor web y son luego mostrados en el navegador web del cliente. 

Así son las páginas web estáticas

Así son las páginas web dinámicas

Para que los cambios en el contenido en una página web dinámica se generen, el servidor web en el que se ubica la página se asocia con una base de datos, la cual puede estar en un servidor aparte o en el mismo equipo en donde funciona el servidor web, es decir, el servidor web actúa a la vez como servidor de base de datos, asi como también puede a su vez actuar como servidor de aplicaciones.

Los cambios en las paginas web dinámicas se hacen con ayuda de una base de datos ubicada dentro o fuera del servidor web

Es en este escenario donde entra en escena PHP al participar en la creación de las páginas web dinámicas. Este lenguaje de programación se ejecuta en el lado del servidor, es decir, que se instalará y ejecutará en un servidor web. PHP puede estar incrustado en el código HTML de una página web, es decir, que en la página habrá código PHP dentro del código HTML.

PHP se ejecuta en el servidor y su código puede estar dentro del código HTML de una pagina web

PHP puede usarse en varios sistemas operativos como Windows. GNU/Linux y Mac OS e instalarse en diferentes tipos de servidores web como Apache y Microsoft IIS. Asimismo, permite la conexión a distintas bases de datos como MySQL, MariaDB y PostgreSQL.

Estas son algunas de las características de PHP

PHP se encarga de crear páginas web dinámicas

PHP es un lenguaje interpretado, esto quiere decir que se ejecuta directamente sus instrucciones sin necesidad ser compiladas previamente, es fácil de aprender y soporta la programación orientada a objetos (POO). Ahora veremos como trabaja este lenguaje de programación.

Cómo funciona PHP

PHP se usa para generar páginas web dinámicas, las cuales se modifica su contenido a tráves de de la petición de un cliente de la siguiente manera: Cuando se escribe una dirección en un navegador web, se envían los datos de la solicitud al servidor que los procesa, ejecuta el código PHP presente en la pagina en la que se hizo la solicitud, reúne la información necesaria consultando a una base de datos, devolviendo la respuesta en una página web, tal como se muestra en la imagen.

Como trabaja PHP

En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de lo anteriormente explicado.

Ejemplo del funcionamiento de PHP

Sintaxis de PHP

La sintaxis de un lenguaje de programación es le conjunto de reglas que deben seguirse al momento de crear un programa. Haremos un repaso de lo que es la sintaxis de PHP.

Apertura:	<?php
Cierre:	?>
Fin de línea:	;
Comentario simple:	// #
Comentario multilinea:	/*....*/
Comentario de documentación:	/** *..... *..... */

Para mostrar texto se usa la palabra reservada (palabra de uso exclusivo para el lenguaje de programación) echo y el texto a mostrar se coloca entre comillas, mientras que a los números no se colocan comillas. En vez de echo tambien se puede usar la palabra print.

Ejemplo:

<?php

//Ejemplo

/* Ejemplo

de PHP */

echo "Ejemplo de PHP";

echo 25;

Ejemplo de sintaxis de PHP

En PHP las variables se identifican con el signo $, especificamente, se coloca primero $ y luego el nombre de la variable, luego se coloca el signo = para colocarle su valor. Para mostrar la variable se utiliza la palabra echo, en este caso se mostrará el valor asignado a la variable.

Ejemplo:

<?php

$var1=5,

echo $var1;

?>

Identificación de variables en PHP

Variables en PHP

Una variable en programacion es un espacio en la memoria del computador cuyo valor puede cambiar durante la ejecucion del programa. En PHP se tendrán los siguientes tipos de variables:

String	Cadena de texto
Integer	Números enteros
Float (támbien llamado Double)	Números decimales
Array	Matriz, que es un conjunto ordenado de valores
Object	Objeto, usado en programacion orientada a objetos
Null	Variable sin valor

Bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Esto solo ha sido una introducción a PHP ya que esto es mas extenso. PHP es uno de los lenguajes de programación mas usados a nivel mundial, el cual sin darnos cuenta interactuamos con el cuando por ejemplo, llenamos un formulario en una pagina web. Ahora si me despido, no olviden comentar y si tienen alguna duda o sugerencia pueden expresarla sin temor ¡Hasta la próxima!