Aplicaciones de la geometría y trigonometría: Mediciones

Saludos. Empezare esta nota con la siguiente pregunta: ¿Como haríamos para medir una distancia o una altura? Muchos responderán que con una regla o una cinta métrica, pero que tal si eso que queremos medir es muy grande y una regla o una cinta métrica no nos servirá de mucho o de nada, como por ejemplo la altura de un edificio o el ancho de un río. Pues bien, para caso como estos nos valdremos de las matemáticas, específicamente de sus ramas geometría y trigonometría ¿Que como es eso? Lo veremos a continuación.

Vamos primero a hacer un breve repaso de algunos conceptos.

¿Que es la trigonometría?

Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La trigonometría se dedica a realizar cálculos vinculados a los elementos de un triángulo,para lo cual hace uso de las razones trigonométricas.  

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son las razones obtenidas, es decir el resultado de una división, entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Para un triangulo rectángulo con un ángulo α cuyos lados son A, B y C y en donde:

A es el cateto opuesto, es decir, el lado opuesto al ángulo α

B es el cateto adyacente, es decir, el lado adyacente al ángulo α

C es la hipotenusa

Triángulo rectángulo

Entonces, las razones trigonométricas de un angulo α son:

Seno (Se denota como Senα y se lee seno de alfa)

Coseno (Se denota como Cosα y se lee coseno de alfa)

Tangente (Se denota como Tgα y se lee como tangente de alfa)

Estas razones trigonométricas se determinan mediante la división de los diferentes lados de un triangulo rectángulo. Si los lados de este triangulo rectangulo son A, B y C, siendo A el cateto opuesto, B el cateto adyacente y c la hipotenusa se tiene que:

Para el seno

Senα = cateto opuesto/hipotenusa = A/C

Para el coseno

Cosα = cateto adyacente/hipotenusa = B/C

Para la tangente

Tgα = cateto opuesto/cateto adyacente = A/B

Razones trigonométricas

También existen otras razones trigonométricas que son las inversas de las anteriores y son las siguientes:

Cosecante (Se denota como Cscα y se lee cosecante de alfa)

Cscα = 1/Senα = hipotenusa/cateto opuesto = C/A

Secante (Se denota como Secα y se lee secante de alfa)

Secα = 1/Cosα = hipotenusa/cateto adyacente = C/B

Cotangente (Se denota como Ctgα y se lee como cotangente de alfa)

Ctgα = 1/Tgα = cateto adyacente/cateto opuesto = B/A

Las razones trigonométricas tendrán un determinado valor de acuerdo al angulo. A continuación se muestran los valores que tendrán las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) para los ángulos 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º y su equivalente en radianes:

Razones trigonométricas para distintos ángulos

Si se conoce la longitud de dos de los lados de un triangulo rectángulo se podrá determinar cuanto vale  una determinada razón trigonométrica y si se sabe la longitud de al menos uno de los lados que forman un triangulo rectángulo y el valor del angulo se puede conocer cual sera la longitud de otro de sus lados mediante las razones trigonométricas. Haremos unos ejemplos de situaciones que se presentan en la practica donde aplicaremos lo dicho en lineas anteriores.

Calcular la altura de una torre si una persona está a 7 metros de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la punta es de 60º y sostiene el artilugio con el que mide el angulo de elevación a una altura de 1,5 metros.

Cuando nos referimos al ángulo de elevación, decimos que es el ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto, por lo tanto, en el ejemplo, la el angulo que se forma desde los ojos de la persona hacia la punta de la torre es el angulo de elevación, que es igual a 60º, que se obtuvo por medio del artilugio que sostiene en sus manos. De acuerdo a los datos que nos dan se deduce que la persona, la distancia que desde esta a la torre y la altura de la misma forman un triangulo rectángulo tal como se muestra en la figura:

Ejercicio practico. Calculo de la altura de una torre

Con los datos dados y usando las razones trigonométricas, podremos calcular la altura de la torre de la manera como se muestra en la figura:

Calculo de la altura de una torre

Una cometa, papagayo o papalote (varia el termino según el país) está unida al suelo por un hilo de 100 metros, formando con el suelo un angulo de 60º. Si se asume que este hilo está tirante, determinar que altura estará la cometa (o papagayo o papalote). De acuerdo a los datos que nos dan se deduce que el hilo de la cometa y la altura a la que se muestra la misma forman un triangulo rectángulo tal como se muestra en la figura:

Ejercicio practico. Calculo de la altura de una torre

Con los datos dados y usando las razones trigonométricas, podremos calcular la altura de la cometa de la forma como se muestra en la figura:

El detalle del uso de la trigonometría para casos como estos es en la dificultad que se puede presentar a veces con la determinación del angulo. Esto puede hacerse con ciertos artilugios y si no se cuenta con estos se determinar con la vista, pero esto requiere mucha practica. Otra dificultad que se presenta es a la hora de hacer los cálculos, ya que si bien se conocen los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º y su equivalente en radianes ya que estos están tabulados, no siempre se tendrán ángulos con estos valores, por lo que se deben hallarlos. Esto se hace fácil con una calculadora pero si no se tiene una a la mano se complica el asunto. Existe otra forma de realizar estos cálculos en casos prácticos como los ya descritos y es por medio de la semejanza de triángulos o triángulos semejantes, el cual se explica a continuación.

Triángulos semejantes

Esto fue planteado por el filosofo y matemático griego Tales de Mileto, quien es conocido por determinar la altura de las pirámides de Egipto usando solo un bastón al comparar la sombra de este con la de las pirámides.

Al comparar la sombra de las pirámides de Egipto con la de un bastón Tales de Mileto dio origen al uso de la semejanzas de triángulos

Tales de Mileto observó que una sombra está en igual proporción que la otra, es decir, la sombra de la pirámide es proporcional a la del bastón.

Ambas sombras forman triángulos que son proporcionales

En base a esto, el calculo de la altura de las pirámides lo hizo de la siguiente manera:

Calculo de la altura de la pirámide por semejanza de triángulos

Este método es lo que se conoce como semejanza de triángulos o triángulos semejantes y se usa todavía. Para poder aplicarlo se deben cumplir alguna de estas condiciones:

• Ángulos iguales
• Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales
• Lados proporcionales

Criterio para la semejanzas de triángulos

Teorema de Tales

Tales de Mileto postuló el siguiente teorema:

"Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos resultantes en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra."

Teorema de Tales

Si este teorema se aplica a los triángulos dice lo siguiente:

"Para un triángulo cualquiera, si se traza un segmento paralelo a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo original."

Teorema de Tales aplicado a los triángulos

Los triángulos semejantes y el teorema de Tales nos sirven de mucha utilidad en la practica y para demostrarlo haremos unos ejemplos de situaciones que se presentan en la practica donde aplicaremos lo dicho anteriormente.

Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6,5 metros a la misma hora que un poste de 4,5 metros de altura da una sombra de 0,90 metros.

Ejercicio practico. Calculo de la altura de un edificio

Calcular la distancia entre dos arboles ubicados en la orilla opuesta de un río, por el cual pasa un puente que mide 30 metros de largo. Según la figura el puente cruza el río de forma diagonal y pasa justo al lado de dos arboles cada uno de ellos ubicados en ambas orillas, siendo uno de ellos al que queremos medir la distancia que lo separa de otro mas. Si en la orilla donde estamos tomamos como referencia el árbol que esta al lado del puente, al cual llamaremos A y ubicamos un punto ubicado en linea recta que esta a 10 metros de distancia al cual llamaremos D y tomamos otro punto que llamaremos E y que esta a 12 metros de distancia siguiendo el camino que se comunica con el puente el cual viene en dirección diagonal. Si a los arboles a los que queremos hallar la distancia que los separa los llamaremos B y C, obtendremos dos triángulos, uno dentro del otro tal como se muestra en la figura.

Ejercicio practico. Calculo de distancia entre dos puntos

Aplicaremos el teorema de Tales para hallar la incógnita que queremos saber, tal como se muestra en la figura:

Uso del Teorema de Tales para hallar la distancia entre dos puntos

Un uso practico de los triángulos semejantes es el calculo de la distancia de un río. Tomamos como referencia un punto, al cual llamaremos X, tal como un árbol, una roca o una casa en la orilla opuesta a la que nos encontramos y al lugar en donde estamos parados lo llamaremos A. Caminamos en linea recta unos 60 metros y colocamos un palo o una estaca e identificamos este sitio como B. Seguimos caminando en linea recta otros 30 metros. En ese sitio, al cual llamaremos C, doblamos en angulo recto y caminamos orilla adentro, contando ka distancia hasta llegar a un sitio en donde la estaca o la piedra ubicada en B quede en linea recta con el árbol, roca o casa ubicada en X, tal como se muestra en la figura, en la cual se observan dos triángulos, los cuales son semejantes. Por lo tanto, la distancia entre las orillas de un río se calculan por triángulos semejantes, tal como se ve en la figura:.

Calculo del ancho de un río por triángulos semejantes

Por lo tanto, la distancia entre las orillas de un río, es decir, su ancho es igual al doble de la distancia  que hay es de la orilla hasta el punto en donde la estaca o la piedra ubicada en B quede en linea recta con el árbol, roca o casa ubicada en X.

Bueno esto es todo por hoy. Espero les haya gustado esta nota practica y recuerden que lo dicho aquí les puede servir en diferentes casos. Suscribanse y recuerden comentar. ¡Hasta la próxima!

Algo de historia en telefonía

Pasa a menudo

Si que pasa

Cuando debe compilar un programa

O compila o compila

Acopladores direccionales en lineas de transmision

Saludos. En esta ocasión voy a hacer una breve descripción de lo que son los acopladores direccionales en lineas de transmisión, asi que comencemos.

Primero vamos a recordar que las telecomunicaciones se basan en la transmisión de información a través de señales electromagnéticas y la transmisión de estas señales electromagnéticas se puede realizar de dos formas: transmisión radiada y transmisión guiada.

Transmisión radiada

Es la propagación de ondas electromagnéticas por el espacio libre

Transmisión guiada

Es la propagación a través de una estructura o medio que permita el confinamiento y guiado de las ondas electromagnéticas desde el origen hasta el destino. Dicha estructura o medio se le denomina línea de transmisión.

¿Que son las lineas de transmisión?

Las lineas de transmisión confinan la energía electromagnética a una región del espacio limitada por el medio físico que constituye la propia línea. La línea está formada por conductores eléctricos con una forma geométrica determinada que condiciona las características de las ondas electromagnéticas en ella. Una linea de transmisión es al menos un par de hilos metálicos separado por un aislante.

Linea de transmisión

Ejemplos de lineas de transmisión

Una de las características de las lineas de transmisión es su Impedancia. porque se comportan como un circuito eléctrico tipo RLC, ya que tratan con señales de corriente alterna, las cuales tienen diferentes frecuencias.

Impedancia de una linea de transmisión

El circuito equivalente de una linea de transmisión es el siguiente:

Circuito equivalente de una linea de transmisión

Impedancia caracteristica

Es la impedancia que se ve desde una línea infinitamente larga o la que se ve desde el largo finito de una línea que termina en una carga totalmente resistiva igual a la impedancia característica de la línea. Se calcula de esta manera:

Impedancia característica de una linea de transmisión

Acopladores

Muchas veces se debe conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. En este caso la onda que viene por la linea se refleja disminuyendo la potencia entregada a la carga y puede tener efectos adversos como sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces de causar daños. Para evitar estas situaciones existen los adaptadores, qte son mecanismos de adaptación de las impedancias entre la línea y la carga.

Acopladores direccionales

Un acoplador direccional es un dispositivo que permite detectar y separar las ondas incidentes y reflejadas en una línea de transmisión, como por ejemplo, aquella que une la salida de un transmisor de radio con la antena. Este dispositivo esta formado por cuatro puertas y básicamente consta de dos líneas de transmisión y un mecanismo de acoplo entre ellas.

Acoplador direccional

El funcionamiento es el siguiente:

• Una porción de la onda que viaja de 1 (puerto de entrada) a 2 (puerto directo respecto al puerto 1) se acopla a 3 (puerto acoplado respecto al puerto 1) pero no a 4 (puerto aislado respecto al puerto 1).
• Una porción de la onda que viaja de 2 (puerto de entrada) a 1 (puerto directo respecto al puerto 2) se acopla a 4 (puerto acoplado respecto al puerto 2) pero no a 3 (puerto aislado respecto al puerto 2).
• El análisis es análogo para los puertos 3 y 4.

Por lo tanto siempre queda una puerta aislada.

Los parámetros básicos en el funcionamiento de un acoplador direccional son el acoplo, la directividad y el aislamiento.

El acoplo, C(dB), se define como:

Acoplo de un acoplador direccional

Siendo P1 la potencia incidente en el puerto 1 (potencia de la onda progresiva que se propaga por ese acceso) y P3 la potencia que sale por el puerto 3.

El aislamiento, I(dB), se corresponde con el cociente entre P1 y P4, donde P4 es la potencia que sale por el puerto 4.

Aislamiento de un acoplador direccional

La directividad, D(dB), es el cociente entre P3 y P4:

Directividad de un acoplador direccional

Algunos tipos de acopladores direccionales son el acoplador Bethe-Hole, el cual es realizado con dos guías de onda rectangular acopladas por medio de un orificio en el plano común a ambas.

Acoplador Bethe-Hole

También están los acopladores de múltiples aberturas que en vez de acoplarse por un solo orificio lo hacen por medio de múltiples orificios separados a una distancia igual a un cuarto de onda.

Acoplador de múltiples aberturas

Asimismo están los acopladores de líneas acopladas y los acopladores Lange

Divisores de potencia

Son dispositivos que se encargan de repartir la potencia entre los puertos de salida. Normalmente lo hacen en partes iguales.

Divisor de potencia

Generalmente se busca reciprocidad en los divisores de potencia, pero se tiene como consecuencia que o no se adaptan todos los puertos o se tienen perdidas.

Los divisores de potencia de tres puertos que no presentan perdidas pero con uno de sus puertos desadaptados son conocidos como divisores de unión en T.

Divisor de unión en T

Para  lograr adaptación en todos los puertos de la unión en T se le añadirán pérdidas:

Divisor de unión en T con perdidas

Si se le añaden elementos resistivos a un divisor de potencia cuyos puertos de salida están adaptados por medio de elementos resistivos solo se disipará la potencia reflejada. A este tipo de divisores de potencia se le conoce como divisores Wilkinson.

Divisor Wilkinson

Cavidades resonantes

Como una sección de una línea de transmisión tiene características de inductancia serie y capacitancia en paralelo, entonces a una frecuencia dada habrá resonancia. Como en microondas se utilizan guías de ondas, la sección de una guía de onda a determinada frecuencia se comportará como un circuito resonante. A dicha sección de guía de onda se le llamará cavidad resonante. Una cavidad resonante se comporta como un circuito resonante en paralelo y pueden tener forma rectangular o cilíndrica.

Cavidad resonante

Bueno vamos a dejarlo hasta aquí. Suscribanse a este blog y si desean hacer algún comentario o expresar alguna duda o sugerencia pueden hacerlo ¡Hasta la próxima!

Aplicación de las cónicas. Parábolas y su uso en las comunicaciones

Saludos. Esta vez vengo con la intención de responder aquella pregunta que dice así: ¿para que sirven las matemáticas? Pues bien, en este caso vamos a ver un uso practico de ellas, específicamente en las comunicaciones y mas exactamente del uso de las cónicas en especial las parábolas, pues entonces comencemos.

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Las cónicas son usadas actualmente en tecnología, pero antes de ver como se aplican haremos un repaso de algunos conceptos.

¿Qué son cónicas?

Las cónicas o secciones cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano, de allí el nombre. De acuerdo al ángulo en que el plano corte al cono se tendrá los distintos tipos de cónicas, los cuales son:

• Circunferencia
• Elipse
• Parábola
• Hipérbola

En la siguiente imagen se muestran los distintos tipos de cónicas:

Cónicas 

Vamos a analizar las parábolas que son las usadas en las telecomunicaciones.

¿Qué es una parábola?

Una parábola es una cónica obtenida del corte de un plano en ángulo oblicuo a un cono. Más exactamente una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de una recta fija y de un punto fijo. La recta fija es llamada directriz y el punto fijo es llamado foco. 

Parábola

La directriz es perpendicular a otra recta llamada eje en la cual está ubicado el foco, indicado por F y la distancia, que se indica por P, que hay del foco al vértice, indicado por O, es la misma que hay del vértice a la directriz, indicada por D, asimismo, por el foco pasa una recta perpendicular al eje que es llamada lado recto, indicada por la letra L, y que corta a la parábola en dos puntos. En la imagen se muestra como esta compuesta una parábola.

Como esta compuesta una parábola

Ahora bien, supongamos que el vértice O está en el origen del eje de coordenadas y que la directriz corta al eje en un punto –X, mientras que el foco es un punto P en el eje X, por lo que sus coordenadas serán (P,0), la fórmula de una parábola es:

Y² = 4PX

Ecuación de la parábola

Si la parábola tuviese su directriz perpendicular al eje Y, es decir, abriría en forma vertical, y siguiendo el razonamiento anterior, su fórmula sería:

Ecuación de la parábola vertical

Conocemos lo que es una parábola y su forma ¿Pero qué aplicación práctica le podemos encontrar a esta cónica? Pues bien, las parábolas las vemos muy a menudo, y en caso que no sea así, hacemos uso de ella hasta sin darnos cuenta, como es el caso de las antenas parabólicas, que tal como su nombre lo indica, su forma proviene de una parábola. Vemos cantidad de antenas parabólicas usadas principalmente para recibir señales de televisión por satélite, pero sirven para otras aplicaciones como telefonía, comunicaciones y en astronomía, los llamados radiotelescopios son grandes antenas parabólicas.

Antenas parabólicas

Una de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de reflexión, la cual consiste en lo siguiente: un rayo que sale del foco se refleja sobre la superficie de la parábola saliendo de forma paralela a su eje y un rayo que llegue de forma paralelo al eje de la parábola, se refleja en ella dirigiéndose al foco. Las antenas parabólicas funcionan con este principio cuando un flujo de ondas electromagnéticas choca contra su superficie, reflejándose en el foco de la parábola.

Propiedad de reflexión de las parábolas

Para diseñar una antena parabólica se usan los conceptos vistos anteriormente. Si la parábola abre en forma vertical, su ecuación es:

X² = 4PY

Si el vértice de la parábola está en el origen del eje de coordenadas, es decir, está en el punto (0,0) y el foco está ubicado en un punto P en el eje Y, por lo que sus coordenadas serán (0, P). Ahora vamos a ver los elementos de una antena parabólica y como se calculan, tal como se muestra en la siguiente figura:

Elementos de una antena parabólica

Si ahora la parábola abre en forma horizontal, su ecuación es:

Y² = 4PX

Si se asume que el vértice de la parábola está en el origen del eje de coordenadas, es decir, en el punto (0,0) y el foco está ubicado en un punto P en el eje X, por lo que sus coordenadas serán (P, 0). Los elementos de una antena parabólica y como se calculan para este caso, es de forma similar si la parábola abriera en forma vertical, tal como se muestra en la siguiente figura:

Elementos de una antena parabólica si abre horizontalmente

Hagamos un ejemplo práctico: para una antena de 6 metros de diámetro y un foco de 2 metros, calcular la profundidad y el ángulo de abertura.

Sea P el foco, D el diámetro y H la profundidad, entonces si:

D: 6 metros

P: 2 metros

Para determinar estos valores se hace lo siguiente:

Ejemplo de antena parabólica

Para que la antena obtenga su forma a la parábola se le hace girar sobre su eje:

Giro de una parábola

Para hallar el volumen de la misma, se calcula por integrales por el método de solido de revolución, el cual es igual a:

Volumen de una antena parabólica

Si la parábola abre de forma horizontal, esto se calcula así:

Volumen de una antena parabólica que abre horizontalmente

Ahora calcularemos el volumen que ocupará la antena del ejemplo anterior, para lo cual usaremos integración definida:

Ejemplo del calculo del volumen de una parábola 

Vamos a dejarlo hasta aquí. Este teme es mas extenso y quise mostrar solo un resumen del mismo, el cual espero les haya gustado. Pueden hacer cualquier comentario o sugerencia y no olviden suscribirse a este blog. ¡Hasta la próxima!