¿Que son números primos?
Un numero primo es aquel número entero que solo puede ser divisible entre el mismo y 1. Los números primos fueron definidos por primera vez por el matemático griego Euclides en su obra Los Elementos publicada alrededor del año 300 A.C. Ejemplos de números primos son el 2, el 7 y 11, ya que solo pueden dividirse entre ellos mismos y el 1. En cambio, 4, 6, 8, 9 y 0 no son primos ya que todos tienen otros divisores ademas de ellos mismos y la unidad
El matemático griego
Eratóstenes ideó una forma, que es conocida como criba de
Eratostenes, para saber cuales números son primos. Si se tienen los
números del 1 al 100, :se trata de ir buscando los que sean
múltiplos de algún otro número, aparte de ellos mismos y el 1.
1
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99
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100
|
El 2, 7 y 11, solo
pueden dividirse entre ellos mismos y el 1, por lo tanto son primos.
En cambio, 4, 6, 8, 9 y 10 no son primos ya que todos tienen otros
divisores ademas de ellos mismos y la unidad Se indican aquellos
números que son primos, es decir que solo pueden dividirse entre
ellos mismos y el 1 mediante un sombreado amarillo:
1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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18
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20
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30
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47
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48
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49
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59
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76
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78
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80
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86
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88
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89
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90
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95
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97
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98
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99
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100
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Si se toman en cuenta solo los números primos, comprendidos entre 1 y 100, la lista se vera mas reducida tal como se muestra:
2
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3
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5
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7
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11
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13
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17
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19
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23
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29
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31
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37
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41
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43
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47
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53
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59
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61
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67
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71
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73
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79
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83
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89
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97
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A continuación se
muestran los 168 primeros números primos, que son los comprendidos
entre 1 y 1000:
2
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3
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5
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7
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11
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13
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17
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19
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23
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29
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31
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37
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41
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43
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47
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53
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59
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61
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67
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71
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73
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79
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83
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89
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97
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101
|
103
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107
|
109
|
113
|
127
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131
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137
|
139
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149
|
151
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157
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163
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167
|
173
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179
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181
|
191
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193
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197
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199
|
211
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223
|
227
|
229
|
233
|
239
|
241
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251
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257
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263
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269
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271
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277
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281
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283
|
293
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307
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311
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313
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317
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331
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337
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347
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349
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353
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359
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367
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373
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379
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383
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389
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397
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401
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409
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419
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421
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431
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433
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439
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443
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449
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457
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461
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463
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467
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479
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487
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491
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503
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541
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563
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571
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587
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593
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599
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607
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619
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647
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659
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673
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683
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701
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709
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719
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727
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733
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739
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743
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751
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757
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761
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769
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773
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787
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797
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809
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811
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821
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823
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827
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829
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839
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853
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857
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859
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863
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877
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881
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883
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887
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907
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911
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919
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929
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937
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941
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947
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967
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971
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977
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983
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991
|
997
|
Como cada cierto tiempo se descubre un nuevo número primo, se dice que estos son infinitos. El número primo mas largo hasta el momento de escribir esta nota fue encontrado por cálculos hechos en a computadora en la Facultad de Ingeniería de la UNAM (Universidad Autónoma de México) el 15 de octubre de 2016 y consta de 1 001 953 (un millón mil novecientas cincuenta y tres) cifras.
¿Qué es un número compuesto?
Aquel número que no es
primo se le llama compuesto. Un número compuesto es aquel que tiene
varios divisores aparte del mismo y de la unidad (1). Ejemplo: 4, 6 y
9.
Teorema fundamental de la aritmética
Este teorema dice que
todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un
producto de números primos. Ejemplo:
2 = 2 (es un número
primo)
6 = 2 x 3 (2 y 3 son
primos)
15 = 3 x 5
25 = 52 = 5
x 5 (el número primo 5 se expresa en forma de potencia)
120 = 23 x 3
x 5 (el número primo 2 se expresa en forma de potencia)
Cómo saber si un número es primo o no
Para saber si un número
es primo o no se le dividirá entre los números primos menores que
este. Si no es divisible por ninguno de estos, entonces será primo.
Pero si resulta divisible por alguno de esto entonces será
compuesto. Aquí se muestran algunas indicaciones para facilitar los
cálculos:
-
A excepción del 2, todo número par es compuesto, ya que son divisibles entre 2, es decir, 4, 8, 12, 22, 38, son números compuestos.
-
Todo número que termine en 5 es compuesto, ya que será divisible entre 5, como por ejemplo: 15, 25, 35.
-
Todo número que termine en 0 será divisible tanto entre 2 como entre 5, tal como 10, 20, 100, 1050.
¿Es el número 1 un número primo?
Durante
mucho tiempo se consideró como primo al número 1, pero ha sido
excluido de este grupo. Una razón la podemos encontrar en el teorema
fundamental de la aritmética, el cual fue descrito anteriormente.
Otra razón es que un numero primo solo admite dos divisores: él
mismo y la unidad, por lo que se descartaría el 1. De allí fue que
se acordó excluir al 1 como número primo.
Algunos tipos de números primos
Números primos de Mersenne
Se
le llama número primo de Mersenne a aquel que es de la forma 2n
- 1.
Descubiertos
en 1644 por el monje francés Marin Mersenne quien afirmó que los
números 2n - 1 eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17,
19, 31, 67, 127 y 257, y que eran compuestos para los restantes
enteros positivos n < 257. Para el año 1947 se terminó de
chequear el rango de Mersenne, n <= 258, y se determinó que la
lista correcta es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.
Actualmente se conocen 50 primos de Mersenne, siendo este último
número descubierto denominado como M77232917 y el cual es igual a:
M77232917
= 277232917 – 1
Donde
M77232917 tiene más de 23 millones de dígitos.
Números primos de Sophie Germain
Un
número primo de Sophie Germain es aquel que al multiplicarlo por 2 y
sumarle 1 el resultado es también un número primo.
Ejemplo:
Sea el número 2, si se multiplica por 2 y se le suma 1 se tiene que
2x2+1=5
Como
5 es un número primo, entonces 2 es número primo de Sophie Germain.
Números primos de Fermat
Un
número primo de Fermat es aquel que cumple con la ecuación:
22n
+ 1, donde n es un numero natural.
Solo
se conocen cinco primos de Fermat:
3
(n=0)
5
(n=1)
17
(n=2)
257
(n=3)
65537
(n=4)
Utilidad de los números primos
Los
números primos suelen utilizarse en la seguridad informática,
específicamente en el la criptografía que trata de codificar o
cifrar mensajes, tal como veremos en el siguiente ejemplo.
A
cada letra del abecedario le corresponderá un número de dos cifras:
A=01
B=02 C=03 D=04 E=05 F=06 G=07 H=08 I=09 J=10
K=11
L=12 M=13 N=14 Ñ=15 O=16 P=17 Q=18 R=19 S=20
T=21
U=22 V=23 W=24 X=25 Y=26 X=27 Y=28 Z=29
Quien
envía el mensaje usa este método de cifrado, si el número que
corresponde a la letra es primo, se deja como está, y si es
compuesto, se le suma un número, que en este caso será 5:
A=06
B=02 C=03 D=09 E=05 F=11 G=07 H=13 I=14 J=15
K=11
L=17M=13 N=19 Ñ=20 O=21 P=17 Q=23 R=19 S=25
T=26
U=27 V=23 W=29 X=30 Y=31 X=32 Y=33 Z=29
Por
lo tanto, la palabra “Agua” sería 06072706.
Para
descifrar un mensaje, agrupamos el número en partes de dos cifras,
como en este caso que queremos descifrar 13211706 0613140721.
Agrupamos en partes de dos cifras:
13
21 17 06 06 13 14 07 21
Si
buscamos la letra correspondiente en la tabla tendremos que 13 21 17
06 06 13 14 07 21 significa “Hola Amigo”.
La
criptografía es usada en páginas web donde se necesita seguridad al
realizar transacciones monetarias como en el sitio web de un banco o
en el comercio electrónico, para lo cual se cuentan con algoritmos
como el RSA (que son las iniciales de los apellidos de sus creadores:
Rivest, Shamir y Adleman) el cual fue creado en el año 1977 por Ron
Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, del Instituto Tecnológico de
Massachusetts (MIT) y está basado en la factorización de números
enteros.
En
los sistemas de criptografía como los usados en los bancos y en
otras organizaciones donde se requieran hacer operaciones seguras, un
usuario posee una clave pública y otra privada. Cuando el emisor
obtiene la clave pública del receptor, cifra el mensaje con esa
clave, y una vez que se recibe, el receptor usa su clave privada para
descifrar la información. El cifrado con algoritmo RSA transforma el
mensaje del emisor en una cifra resultante del producto de dos
números primos grandes elegidos al azar: entre más grandes sean los
números, más complicado será saber cuál es el producto de esas
dos cifras y, por ende, más seguro será el sistema.
Parecería
sencillo romper el cifrado, pues bastaría con descomponer un número
en sus factores primos; pero, cuando se trabaja con primos de 100
dígitos, al multiplicarlos se obtendrá un número de tal magnitud
que descomponerlo supondría una tarea de extrema dificultad.
En realidad el algoritmo RSA, como otros usados en encriptación son mas complicados y su explicación se hace mas larga, por lo que lo explicaré en otra oportunidad. Por ahora lo dejaré hasta aquí. Recuerden comnetar y suscribirse ¡Hasta la próxima!
